Questão (4 pontos) Considere o sistema linear
c) Obtenha as soluções gerais
e
dos sistemas
e
, respectivamente;
Passo 1
O enunciado pede as soluções gerais de duas equações diferenciais de primeira ordem: a escalar
com
e o sistema vetorial
onde
Para resolver, vamos usar a teoria de ED lineares: no caso escalar obtemos uma exponencial simples; no caso matricial diagonalizamos
usando autovalores e autovetores.
Passo 2
Para
é uma equação separável cuja solução geral é uma exponencial. Integrando,
logo
onde
é constante arbitrária.
Passo 3
Para o sistema
encontramos primeiro os autovalores resolvendo
As raízes são
Passo 4
Em seguida, achamos autovetores:
Para , da equação
vêm
Para
escolhemos
.
Para , da equação
vêm
Para
escolhemos
.
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos exponenciais:
com constantes arbitrárias
.
Resposta
Y(t)=C,e^{\tfrac{2}{3}t},\quad X(t)=\alpha
e{4t}+\beta\begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix}e{t}