Questão (4 pontos) Considere o sistema linear
X^-t=A X, onde A=(ll 2 & 1 2 & 3 ) D=2 / 3
c) Obtenha as soluções gerais Y(t) e X(t) dos sistemas Y^prime=D Y e X^prime=A X, respectivamente;

Passo 1

O enunciado pede as soluções gerais de duas equações diferenciais de primeira ordem: a escalar Y'=D,Y com D=2/3 e o sistema vetorial X'=A,X onde
A=2 & 12 & 3
Para resolver, vamos usar a teoria de ED lineares: no caso escalar obtemos uma exponencial simples; no caso matricial diagonalizamos A usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Para Y'=D,Y é uma equação separável cuja solução geral é uma exponencial. Integrando,
Y'Y=DRightarrow ln|Y|=D,t+K
logo
Y(t)=C,e^D,t=C,e^tfrac23t,
onde C=e^K é constante arbitrária.

Passo 3

Para o sistema X'=A,X encontramos primeiro os autovalores resolvendo
det(A-lambda I)=det2-lambda &12&3-lambda=(2-lambda)(3-lambda)-2=lambda^2-5lambda+4=0
As raízes são
lambda1=4, lambda2=1

Passo 4

Em seguida, achamos autovetores:
Para lambda1=4, da equação (A-4I)v=0 vêm
-2x+y=0 Rightarrow y=2x
escolhemos v1=12.
Para lambda2=1, da equação (A-I)v=0 vêm
x+y=0 Rightarrow y=-x
escolhemos v2=1-1.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos exponenciais:
X(t)=alpha,v1,e^lambda1 t+beta,v2,e^lambda2 t =alpha12e^4t+beta1-1e^t,
com constantes arbitrárias alpha,beta.

Resposta

Y(t)=C,e^{\tfrac{2}{3}t},\quad X(t)=\alpha 12e{4t}+\beta\begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix}e{t}

Exercícios relacionados