Questão (3 pontos)
a) Encontre a solução geral da equação diferencial homogênea
y^prime prime prime(t)-3 y^prime prime(t)+2 y^prime(t)=0

Passo 1

Estamos com uma equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes, pois temos y‴(t) − 3 y″(t) + 2 y′(t) = 0. Para resolver, vamos usar a técnica do polinômio característico.

Passo 2

A partir da equação diferencial escrevemos o polinômio característico trocando y^{(k)} por r^k. Assim obtemos:
r^3 - 3r^2 + 2r = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio temos r(r^2 - 3r + 2) = 0, e em seguida r(r-1)(r-2)=0. Logo as raízes são r=0, r=1 e r=2, todas distintas e reais.

Passo 4

Quando as raízes são distintas, a solução geral é combinação linear de expoentes das raízes. Portanto,
y(t) = C1 e^0 s t + C2 e^1 s t + C3 e^2 s t = C1 + C2 e^t + C3 e^2t,
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1+C2e^t+C3e^2t

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