1^ a Questão (5 pontos) - Um cubo com arestas de 10 cm e massa de 5 kg , desliza, para baixo, sobre um plano inclinado 30^circ em relação à horizontal. Entre o bloco e o plano há uma fina camada de óleo com espessura de 0,20 mm e viscosidade dinâmica de 0,4 Pa.s.
(a) Considerando que o bloco parte do repouso, qual a sua aceleração inicial?
(b) Deduza uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo.
© Qual a velocidade do bloco após 0,2 s ?
(d) Deduza uma expressão para a velocidade terminal do bloco?
(e) Qual o valor da velocidade terminal do bloco?

Passo 1

Beleza, aqui o que rola: a gente tem um cubo de aresta 10 cm (ou seja, 0,1 m) e massa 5 kg deslizando num plano inclinado a 30° em relação à horizontal. Entre o cubo e o plano há uma camada de óleo de espessura 0,20 mm (0,00020 m) e viscosidade dinâmica η = 0,4 Pa·s.
Conteúdo:
  • Dinâmica (segunda lei de Newton) ao longo do plano inclinado
  • Lei de viscosidade de Newton (atrito viscoso em camada fina)
  • Solução de equação diferencial de 1º ordem para v(t)
    O que vamos precisar:
  1. Calcular a força viscosa usando .
  2. Montar .
  3. Resolver para aceleração inicial, v(t), v(0,2 s), velocidade terminal.

Passo 2

(a) Aceleração inicial: como parte do repouso, m,a0 = m,gsin30^circ Longrightarrow a0 = g,sin30^circ = 9,8cdot12 = 4,9 rm m/s^2 .
A partir de Newton ao longo do plano:

Passo 3

(b) Expressão de Frm visc = eta,A,ve :
  1. Área de contato k = 0,4 times 0,010,00020 = 20 rm Ncdot s/m .
  2. Lei de Newton para o atrito viscoso em camada fina (fluxo laminar):
m,dvdt = m,gsinalpha - k,v ;Longrightarrow; dvdt + km,v = gsinalpha
Define v(t) = m,gsinalpha,k,;l(1 - e^-kmtr) . Aqui
  1. Equação do movimento:
Isto é uma EDO linear de 1ª ordem. A solução com

Passo 4

© Velocidade em km = 205 = 4 rm s^-1, vrm ter = m,gsin30^circk = 5cdot9,8cdot0,520 = 1,225 rm m/s s:
v(0,2) = 1,225;l(1-e^-4cdot0,2r) = 1,225;l(1-e^-0,8r) approx 1,225,(1-0,4493) approx 0,675 rm m/s
Então

Passo 5

(d) Velocidade terminal: quando vrm ter = m,gsinalphak = m,gsinalpha eta,Ae , e . Da EDO

Passo 6

(e) Valor numérico da velocidade terminal:
vrm ter = 5cdot9,8cdotsin30^circ20 = 1,225 rm m/s

Resposta

(a)
(b) ,\quad
©
(d)
(e)

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