Uma folha resistente à água usada para aplicações à prova dágua é formada por um material polimérico impermeável. A microestrutura da folha é confeccionada para fornecer poros abertos de diâmetro D=10 mu m(10 times 10^-6 m) que se estendem por toda a espessura da folha com L=100 mu m(100 times 10^-6 m). O diâmetro do poro é grande o suficiente para permitir que o vapor dágua seja transferido através do poro, mas o suficientemente pequeno para proibir que a água líquida penetre na folha. Determine a taxa na qual o vapor dágua é transferido através de um único poro, quando líquido saturado está presente na parte superior da folha (fração molar de 15,62 times 10^-3) e ar úmido, a uma umidade relativa de 50 %, está em contato com a parte inferior (fração molar é de 31,23 times 10^-3).
b) Refaça os cálculos desprezando a contribuição convectiva da mistura do poro (movimento molar médio) e compare as taxas de TM. Resp.: 13,0 times 10^-15 Kmol / s

Passo 1

Beleza, o enunciado tá dizendo o seguinte: temos um único poro cilíndrico de diâmetro D = 10 μm e comprimento L = 100 μm, e queremos saber qual a taxa molar de vapor d’água (espécie A) que atravessa esse poro.
Conteúdo da matéria: transferência de massa em gases binários (vapor d’água + ar), usando lei de Fick e a correção de Stefan para levar em conta o termo convectivo (fluxo molar total).
O que vamos precisar:
  • Concentração total do gás via lei dos gases ideais,
  • Difusividade binária D_AB (tomamos 2,6×10⁻⁵ m²/s a 25 °C em 1 atm),
  • Frações molares na face quente (saturada) y₁ = 0,03123 e na face fria (50% UR) y₂ = 0,01562,
  • Área do poro A = πD²/4,
  • Aplicar Fick para o caso “sem convecção” (N_total=0) e depois a correção de Stefan para incluir o fluxo total de mistura.

Passo 2

Calcular os dados básicos:
  1. Área do poro A = pi D^24 = pi,(10times10^-6,m)^24 approx 7,85times10^-11,m^2
    2) Concentração total média c = PR,T = 1.013times10^58,314times298approx 40,8;mol/m^3 = 0,0408;kmol/m^3 (P=1 atm, T=298 K, R=8,314 J/mol·K):
    De
  2. Difusividade binária: .
  3. Variação de fração molar ao longo do poro:

Passo 3

Caso b) – só difusão (N_total = 0):
Pela lei de Fick unidimensional:
$$N_A^{\rm dif}
= -D_{AB}\,c\,\frac{\Delta y}{L}$$  
Substituindo:
$$N_A^{\rm dif}
= -\;2{,}6\times10^{-5}\,\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{s}}\;\times\,0{,}0408\,\frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{m^3}}\;\times\frac{0{,}01561}{100\times10^{-6}\,\mathrm{m}}$$  
$$\phantom{N_A^{\rm dif}}
\approx 1{,}656\times10^{-4}\;\frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{m^2\,s}}$$  
Multiplicando pela área do poro:
NA^rm dif = -DAB,c,De

Passo 4

Caso a) – difusão + convecção de Stefan
  1. Primeiro encontramos o fluxo total de mistura Nrm tot = -,DAB,cL,ln!l(1-y11-y2r) (para manter P constante):$$N_{\rm tot}= -,\frac{D_{AB},c}{L},\ln!\Bigl(\frac{1-y_1}{1-y_2}\Bigr)$$$$\ln!\Bigl(\tfrac{1-0{,}03123}{1-0{,}01562}\Bigr)= \ln!(0{,}96877/0{,}98438)\approx -0{,}0162$$ ln!l(tfrac1-0,031231-0,01562r) = ln!(0,96877/0,98438)approx -0,0162
  2. Aí o fluxo de A real (relativo ao sólido) é a soma da difusão + parte convectiva:$$N_A= -D_{AB},c,\frac{\Delta y}{L} ;+; y_{\rm m},N_{\rm tot},N_A= 1{,}656\times10^{-4}
    ;+;0{,}023425\times1{,}719\times10^{-4}\approx1{,}696\times10{-4};\mathrm{kmol/m2,s} Nrm tot = -,2,6times10^-5times0,0408100times10^-6 ;(-0,0162) approx 1,719times10^-4;kmol/m^2,s\dot n_A = N_A,A= 1{,}696\times10{-4}\times7{,}85\times10{-11}
    \approx1{,}33\times10^{-14};\mathrm{kmol/s}= 13{,}3\times10^{-15};\mathrm{kmol/s}$$

Resposta

a) Incluindo o termo convectivo de Stefan:
.
b) Desprezando convecção (só Fick):
.
Observação: o efeito convectivo é pequeno (~2 %), mas leva a um ligero aumento no fluxo total.

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