Questão 2 (3,0 pontos)
Dada a EDOLH
3 x^2 y^prime prime+x y^prime+(4 x-1) y=0
(a) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(b) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por Frobenius a equação diferencial
3x^2y'' + x,y' + (4x - 1)y = 0
em torno de x=0. Vamos classificar x=0 como ponto singular, encontrar a equação indicial, depois construir a solução em série para o maior expoente r, e por fim indicar a forma da segunda solução linearmente independente.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0,
dividindo por 3x^2:
P(x)=13x, Q(x)=4x-13x^2
Como xP e x^2Q são analíticos em x=0, temos ponto singular regular. A equação indicial vem de
r(r-1) + a0,r + b0 = 0,
onde
a0 = limxto0 xP(x)=13, b0=limxto0x^2Q(x)=-13
Logo
r(r-1)+13r-13=0 ;Longrightarrow; 3r^2-2r-1=0 ;Longrightarrow; r1=1,;r2=-tfrac13

Passo 3

Para r=r1=1 adotamos
y1(x)=sumk=0^inftyak x^k+1, a0neq0
Substituindo e igualando coeficientes em x^n obtém-se a recorrência, para n>=2:
l[3n(n-1)+n-1r]an-1 + 4,an-2=0 ;Longrightarrow; an-1=-43n^2-2n-1,an-2
Tomando a0=1, os dois primeiros coeficientes são
a1=-47, a2=435,
de modo que
y1(x)=xl(1 - tfrac47x + tfrac435x^2 + cdotsr)

Passo 4

Como a diferença dos raízes r1-r2=1-l(-tfrac13r)=tfrac43 não é inteiro, existe outra solução de Frobenius sem logaritmos, da forma
y2(x)=x^-1/3sumk=0^inftybk,x^k,
com b0neq0 e coeficientes determinados por uma recorrência análoga.

Resposta

(a) y1(x)=xl(1 - tfrac47x + tfrac435x^2 + cdotsr)
(b) y2(x)=x^-1/3sumk=0^inftybk,x^k,
com b0neq0.

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