Questão 2 (3,0 pontos)
Dada a EDOLH
(a) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(b) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.
Dada a EDOLH
(b) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver por Frobenius a equação diferencial
em torno de
. Vamos classificar
como ponto singular, encontrar a equação indicial, depois construir a solução em série para o maior expoente
, e por fim indicar a forma da segunda solução linearmente independente.
Passo 2
Colocamos em forma padrão
dividindo por
:
Como
e
são analíticos em
, temos ponto singular regular. A equação indicial vem de
onde
Logo
Passo 3
Para
adotamos
Substituindo e igualando coeficientes em
obtém-se a recorrência, para
:
Tomando
, os dois primeiros coeficientes são
de modo que
Passo 4
Como a diferença dos raízes
não é inteiro, existe outra solução de Frobenius sem logaritmos, da forma
com
e coeficientes determinados por uma recorrência análoga.
Resposta
(a)
(b)
com
.