Exercício 19. (F. 4.3, ex.5) Resolva a equação abaixo:
c partial^2 upartial t^2(t, x)=c^2 partial^2 upartial x^2(t, x)-a^2 u(t, x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=u(t, l)=0, t>infty u(0, x)=f(x), forall x in] 0, l[ partial upartial t(0, x)=g(x), forall x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de contorno para a equação da onda com termo de reação
partial^2upartial t^2(t,x) = c^2,partial^2upartial x^2(t,x);-;a^2,u(t,x),
com condições de contorno
u(t,0)=0, u(t,l)=0, t>0,
e condições iniciais
u(0,x)=f(x), partial upartial t(0,x)=g(x), 0<x<l
O método necessário é separação de variáveis e desenvolvimento em séries de senos (problema de Sturm–Liouville).

Passo 2

Suponha a forma separada
u(t,x)=T(t),X(x)
Substituindo na EDP e dividindo por T,X obtém-se
T''(t)T(t) + a^2 = c^2,X''(x)X(x) = constante = -lambda
Isso gera dois EDOs acoplados:
X''(x) + lambda,X(x)=0,
T''(t) + l(c^2lambda + a^2r),T(t)=0

Passo 3

Das condições X(0)=X(l)=0 sabemos que as autofunções e autovalores são
lambdan=l(tfracnpilr)^2, Xn(x)=sin!l(tfracnpil,xr), n=1,2,3,dots

Passo 4

Para cada n a equação temporal fica
Tn''(t) + Omegan^2,Tn(t)=0,
onde definimos
Omegan=raizc^2,l(tfracnpilr)^2 ;+;a^2
A solução geral é
Tn(t) = Ancos!l(Omegantr) + Bnsin!l(Omegantr)

Passo 5

Pela linearidade, a solução completa é a soma das modas:
u(t,x) = sumn=1^infty l[ Ancos!l(Omegantr) + Bnsin!l(Omegantr) r] sin!l(tfracnpilxr)

Passo 6

Impondo u(0,x)=f(x) e ut(0,x)=g(x) e usando ortogonalidade dos senos, obtemos
An =2l integral0^lf(x),sin!l(tfracnpilxr),dx,
Bn =2l,Omegan integral0^lg(x),sin!l(tfracnpilxr),dx

Resposta

boxed u(t,x) = sumn=1^infty gl[ 2lintegral0^lf(s),sin!l(tfracnpilsr),ds;cos!l(Omegantr) ;+; 2l,Omeganintegral0^lg(s),sin!l(tfracnpilsr),ds;sin!l(Omegantr) gr] sin!l(tfracnpilxr) com Omegan=raizc^2l(tfracnpilr)^2+a^2

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