Exercício 19. (F. 4.3, ex.5) Resolva a equação abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de contorno para a equação da onda com termo de reação
com condições de contorno
e condições iniciais
O método necessário é separação de variáveis e desenvolvimento em séries de senos (problema de Sturm–Liouville).
Passo 2
Suponha a forma separada
Substituindo na EDP e dividindo por
T,X obtém-se
Isso gera dois EDOs acoplados:
Passo 3
Das condições
X(0)=X(l)=0 sabemos que as autofunções e autovalores são
Passo 4
Para cada
n a equação temporal fica
onde definimos
A solução geral é
Passo 5
Pela linearidade, a solução completa é a soma das modas:
Passo 6
Impondo
u(0,x)=f(x) e
ut(0,x)=g(x) e usando ortogonalidade dos senos, obtemos