(1,0) Seja f: R R derivavel. Assuma que para todo x in R tenha-se 0 <= f^prime(x) <= f(x). Conclua que:
(a) a função g(x)=e^-x f(x) é não crescente,
(b) se f anula-se em algum ponto então f é identicamente nula.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f:RtoR satisfazendo
0 <= f'(x) <= f(x)forall xinR
Queremos mostrar duas coisas:
(a) a função g(x)=e^-xf(x) é não crescente, isto é, g'(x)<=0;
(b) se existe x0 tal que f(x0)=0, então f é identicamente zero em R.
Para isso vamos usar a regra do produto para derivadas e propriedades de funções com derivada de sinal definido.

Passo 2

Calculamos a derivada de
g(x)=e^-xf(x)
Pela regra do produto e pela derivada de e^-x temos
g'(x) =l(e^-xr)'f(x)+e^-xf'(x) =-e^-xf(x)+e^-xf'(x) =e^-xl(f'(x)-f(x)r)

Passo 3

Como e^-x>0 para todo x e pelo enunciado f'(x)-f(x)<=0, segue
g'(x)=e^-xl(f'(x)-f(x)r)<=0
Portanto g é não crescente, o que prova o item (a).

Passo 4

Agora assuma que existe x0 com f(x0)=0. Como g é não crescente, para x>= x0 vale
g(x)<= g(x0)=e^-x0f(x0)=0 Longrightarrow e^-xf(x)<=0 Longrightarrow f(x)<=0
Por outro lado, como f'(x)>=0, a função f é não decrescente e, para x>= x0,
f(x)>= f(x0)=0
Isso força f(x)=0 para todo x>= x0.

Passo 5

Para x<= x0 a mesma ideia vale com desigualdades invertidas:
- Não crescente em g
g(x)>= g(x0)=0 Longrightarrow f(x)>=0
- Não decrescente em f
f(x)<= f(x0)=0
Logo f(x)=0 também para todo x<= x0. Assim f(x)=0 em toda a reta, provando o item (b).

Resposta

(a) A função g(x)=e^-xf(x) é não crescente.
(b) Se existe x0 com f(x0)=0, então f é identicamente nula em R.

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