(1,0) Seja
derivavel. Assuma que para todo
tenha-se
. Conclua que:
(a) a função
é não crescente,
(b) se
anula-se em algum ponto então
é identicamente nula.
(a) a função
(b) se
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável
satisfazendo
Queremos mostrar duas coisas:
(a) a função é não crescente, isto é,
;
(b) se existe tal que
, então
é identicamente zero em
.
Para isso vamos usar a regra do produto para derivadas e propriedades de funções com derivada de sinal definido.
(a) a função
(b) se existe
Para isso vamos usar a regra do produto para derivadas e propriedades de funções com derivada de sinal definido.
Passo 2
Calculamos a derivada de
Pela regra do produto e pela derivada de
temos
Passo 3
Como
para todo
e pelo enunciado
, segue
Portanto
é não crescente, o que prova o item (a).
Passo 4
Agora assuma que existe
com
. Como
é não crescente, para
vale
Por outro lado, como
, a função
é não decrescente e, para
,
Isso força
para todo
.
Passo 5
Para
a mesma ideia vale com desigualdades invertidas:
- Não crescente em dá
- Não crescente em
- Não decrescente em
dá
Logo
também para todo
. Assim
em toda a reta, provando o item (b).
Resposta
(a) A função
é não crescente.
(b) Se existe com
, então
é identicamente nula em
.
(b) Se existe