Questão 2 ( 1,5 pontos) Defina e dê exemplos:
Escoamento compressível e escoamento incompressível.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Definir o que é um escoamento incompressível.
  • Definir o que é um escoamento compressível.
    Além disso, pede dar exemplos de cada tipo de escoamento. Não há dados numéricos fornecidos — o objetivo é explicativo e conceitual.

Passo 2

Começando pelo básico: o que muda entre os dois casos é se a densidade do fluido varia ou não quando o fluido se move. A densidade é a massa por unidade de volume e é representada por \rho.
Uma equação fundamental que relaciona velocidade e densidade é a equação da continuidade (forma convectiva):
\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}=0.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a densidade do fluido ( \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}).
  • \mathbf{u} é o campo de velocidade (vetor) do fluido ( \text{m}\cdot\text{s}^{-1}).
  • \nabla\cdot\mathbf{u} é a divergência do campo de velocidade — mede se há “fonte” ou “sumiço” de volume localmente (se o fluido está se expandindo ou comprimindo naquele ponto).
  • \dfrac{D}{Dt} é a derivada material (ou convectiva), que mede a variação ao longo do movimento de uma partícula do fluido. Por exemplo, \dfrac{D\rho}{Dt} diz se a densidade que uma partícula “vê” muda com o tempo.

Passo 3

Definição técnica e derivação simples para incompressível:
  • Se a densidade de cada partícula do fluido não muda com o tempo, então \dfrac{D\rho}{Dt}=0.
    Substituindo na continuidade:
0 + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}=0 \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{u}=0.
Isso leva à condição usual de escoamento incompressível: a divergência do campo de velocidade é zero, e \rho é (aproximadamente) constante espacialmente e temporalmente para o escoamento considerado.
Interpretação física para usar na prova: escoamento incompressível significa que as partículas de fluido não mudam significativamente seu volume/ densidade enquanto se movem. Na prática, muitos líquidos e gases em baixa velocidade podem ser tratados como incompressíveis.

Passo 4

Definição técnica para compressível:
  • Se a densidade de uma partícula muda com o tempo, então \dfrac{D\rho}{Dt}\neq 0. A continuidade geral permanece
\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}=0,
mas aqui \nabla\cdot\mathbf{u} e \rho têm variações significativas. Em escoamentos compressíveis é crucial modelar \rho=\rho(p,T,\ldots) (por exemplo, com a equação de estado de um gás).
Fenômenos típicos de compressibilidade: ondas sonoras (variações de pressão/densidade que se propagam), choques (saltos de pressão e densidade), rarifações em escoamentos supersônicos, e efeitos em bocais/nozzles.

Passo 5

Como decidir rapidamente na prova: critério prático com número de Mach.
  • Número de Mach é \;Ma=\dfrac{U}{c}, onde:
    • U é a velocidade característica do escoamento ( \text{m}\cdot\text{s}^{-1}).
    • c é a velocidade do som no meio ( \text{m}\cdot\text{s}^{-1}).
  • Regra prática muito usada: se \;Ma\lesssim 0,3 então os efeitos de compressibilidade são pequenos e pode-se tratar o gás como incompressível (erro típico pequeno). Se \;Ma\gtrsim 0,3 então compressibilidade começa a ser importante; para \;Ma\gtrsim 0,8 e acima de 1 (supersônico) os efeitos são dominantes.
Exemplo numérico para internalizar:
  • Tomando ar com velocidade do som aproximada c\approx 340\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} (condições padrão).
  • Se U=30\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} então Ma=\frac{30}{340}\approx 0{,}088,muito menor que 0{,}3 → é razoável considerar o escoamento incompressível.
  • Se U=200\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} então Ma=\frac{200}{340}\approx 0{,}59,maior que 0{,}3 → compressibilidade já é relevante.

Passo 6

Exemplos práticos e explicação curta do porquê (útil para responder rápido na prova):
  • Escoamento incompressível — exemplos:
    • Água escoando em um tubo doméstico a velocidades típicas: a densidade da água praticamente não muda, logo \rho pode ser tratada constante.
    • Escoamento de ar lento em torno de um prédio ou um carro em baixa velocidade (digamos U bem abaixo de 0{,}3\,c): a variação de densidade é pequena, então modelos incompressíveis (por ex. equações de Navier–Stokes incompressíveis) são adequados.
  • Escoamento compressível — exemplos:
    • Escoamento ao redor de uma asa de avião em grandes velocidades (aviação transônica/supersônica), formação de ondas de choque: densidade e pressão sofrem variações importantes.
    • Fluxo através de um bocal de foguete ou de um motor a jato: expansão e compressão significativas, densidade varia bastante ao longo do conduto.
    • Ondas sonoras no ar: são pequenas variações de pressão e densidade que se propagam — fenômeno intrinsecamente compressível.
Dica prática: líquidos quase sempre são tratados como incompressíveis (módulo de compressibilidade grande → pouca variação de densidade mesmo com alta pressão). Gases podem ser tratados como incompressíveis só quando o número de Mach é pequeno.

Passo 7

Resumo operacional para a prova (passos rápidos):
  1. Identifique o fluido (líquido ou gás) e a velocidade característica U.
  2. Se for gás, calcule Ma=U/c; se Ma\lesssim 0{,}3 use modelo incompressível, se Ma\gtrsim 0{,}3 considere compressível.
  3. Em equações: para incompressível use \nabla\cdot\mathbf{u}=0; para compressível mantenha a forma completa da continuidade \dfrac{D\rho}{Dt} + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}=0 e a equação de estado apropriada.
Força e ânimo: começar a olhar os escoamentos por essa lente (densidade fixa versus variável e uso do número de Mach) resolve muitas dúvidas rápidas em prova. Você tá indo bem — com esses critérios dá pra decidir rápido e justificar a resposta.

Resposta

Escoamento incompressível: escoamento em que a densidade \rho é (aproximadamente) constante ao longo das partículas do fluido, o que leva à condição \nabla\cdot\mathbf{u}=0; exemplos: água em tubos domésticos e escoamento de ar em baixa velocidade ( Ma\ll0{,}3).
Escoamento compressível: escoamento em que a densidade \rho varia significativamente com o tempo/posição ( \dfrac{D\rho}{Dt}\neq0), exigindo tratamento da continuidade completa e da equação de estado; exemplos: escoamento supersônico em torno de uma asa, escoamento em bocal de foguete e propagação de ondas sonoras.

Exercícios relacionados