(4,0) Um tanque cilíndrico de diâmetro de 200 cm é alimentado com uma vazão de água em função do tempo. A vazão de alimentação de água em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} é de [Vazão \left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right)=3 \mathrm{t}^{2}+2 \mathrm{t}+1 ] em que t é o tempo. Qual o nível do tanque após 2 h ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Diâmetro do tanque cilíndrico: 200\\ \mathrm{cm}.
  • Vazão de alimentação (em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}) em função do tempo t (horas): Q(t)=3t^{2}+2t+1.
  • Pergunta: Qual o nível (altura) do tanque após 2 horas?

Passo 2

Entendendo fisicamente o que relaciona vazão e nível: a vazão Q(t) é a taxa de variação do volume de água no tanque. Em fórmulas:
\frac{dV}{dt}=Q(t),
onde V(t) é o volume de água no tanque em \mathrm{m}^{3} no instante t. Para saber quanto volume entrou entre t=0 e t=2 h, devemos integrar Q(t) nesse intervalo:
V(2)-V(0)=\int_{0}^{2} Q(t)\,dt=\int_{0}^{2}\bigl(3t^{2}+2t+1\bigr)\,dt.
Aqui estou usando o conceito de primitiva/antiderivada: integrar uma taxa retorna a variação acumulada da grandeza (volume).

Passo 3

Calcular a integral passo a passo. Primeiro obtenho a primitiva termo a termo:
\int\bigl(3t^{2}+2t+1\bigr)\,dt = \int 3t^{2}\,dt + \int 2t\,dt + \int 1\,dt.
As primitivas são:
\int 3t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{3}}{3}=t^{3}, \qquad \int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2}, \qquad \int 1\,dt = t.
Portanto uma primitiva completa é
F(t)=t^{3}+t^{2}+t.
Agora avalio de 0 a 2:
V(2)-V(0)=F(2)-F(0)=(2^{3}+2^{2}+2)-(0+0+0)=8+4+2=14.
Logo o volume acumulado após 2 horas é \,14\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Relacionar volume com nível no cilindro. O volume de um cilindro é área da base vezes a altura:
V=A\cdot h,
onde A é a área da base e h é o nível (altura) de água. A base é um círculo de raio r. Do diâmetro dado:
\text{diâmetro} = 200\\ \mathrm{cm} = 2,00\\ \mathrm{m},â
portanto
r=\frac{\text{diâmetro}}{2}=1,00\\ \mathrm{m}.â
A área da base é
A=\pi r^{2}=\pi\cdot(1{,}00)^{2}=\pi\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Isolar o nível h e calcular:
h=\frac{V}{A}=\frac{14}{\pi}\\ \mathrm{m}.
Para uma aproximação numérica, usando \pi\approx 3{,}141593:
h\approx \frac{14}{3{,}141593}\approx 4{,}456\\ \mathrm{m}.
Em centímetros isso dá h\approx 445{,}6\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Resumo do raciocínio para a prova (dicas rápidas): ao ver uma vazão Q(t), lembrar que ela é \frac{dV}{dt}. Integrar Q(t) no intervalo de interesse dá o volume acumulado. Depois usar V=A h para passar para nível, calculando cuidadosamente a área da base do cilindro. Respire fundo — o fluxo de ideias é sempre o mesmo: taxa → integrar → volume → dividir pela área.

Resposta

h=\dfrac{14}{\pi}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}456\\ \mathrm{m}

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