Um tanque cilíndrico de diâmetro de 200 cm é alimentado com uma vazão de água em função do tempo. A vazão de alimentação de água em
é de [Vazão
] em que t é o tempo. Qual o nível do tanque após 2 h ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Diâmetro do tanque cilíndrico:
. - Vazão de alimentação (em
) em função do tempo (horas): - Pergunta: Qual o nível (altura) do tanque após
horas?
Passo 2
Entendendo fisicamente o que relaciona vazão e nível: a vazão
é a taxa de variação do volume de água no tanque. Em fórmulas:
onde
é o volume de água no tanque em
no instante
. Para saber quanto volume entrou entre
e
h, devemos integrar
nesse intervalo:
Aqui estou usando o conceito de primitiva/antiderivada: integrar uma taxa retorna a variação acumulada da grandeza (volume).
Passo 3
Calcular a integral passo a passo. Primeiro obtenho a primitiva termo a termo:
As primitivas são:
Portanto uma primitiva completa é
Agora avalio de
a
:
Logo o volume acumulado após
horas é
.
Passo 4
Relacionar volume com nível no cilindro. O volume de um cilindro é área da base vezes a altura:
onde
é a área da base e
é o nível (altura) de água. A base é um círculo de raio
. Do diâmetro dado:
portanto
A área da base é
Passo 5
Isolar o nível
e calcular:
Para uma aproximação numérica, usando
:
Em centímetros isso dá
.
Passo 6
Resumo do raciocínio para a prova (dicas rápidas): ao ver uma vazão
, lembrar que ela é
. Integrar
no intervalo de interesse dá o volume acumulado. Depois usar
para passar para nível, calculando cuidadosamente a área da base do cilindro. Respire fundo — o fluxo de ideias é sempre o mesmo: taxa → integrar → volume → dividir pela área.