2^{a} QUESTÃO ( 2,5 pontos)

a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo sâo subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
b) S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-z=0\right. e \left.y-t=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}
c) U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-z=0\right. ou \left.y-t=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}
d) T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+\cos z=1\right\} \subset \mathbb{R}^{3}
e) V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) definir “subespaço vetorial”;
  • (b–e) verificar se cada subconjunto dado é subespaço de \mathbb{R}^n.

Passo 2

Definição de subespaço vetorial:
Um subconjunto W de um espaço vetorial V sobre um corpo F é subespaço vetorial se e somente se:
  1. \mathbf{0}\in W.
  2. Para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, tem-se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Para todo \alpha\in F e \mathbf{u}\in W, tem-se \alpha\mathbf{u}\in W.

Passo 3

Análise de S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-z=0\text{ e }y-t=0\}:
As condições são lineares homogêneas. Todo (x,y,z,t)\in S pode ser escrito como
(x,y,z,t)=(a,b,a,b)=a(1,0,1,0)+b(0,1,0,1),
logo contém \mathbf{0}=(0,0,0,0), é fechado sob soma e escalar.

Passo 4

Análise de U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-z=0\text{ ou }y-t=0\}:
É a união de dois subespaços (um definido por x-z=0, outro por y-t=0). A união de subespaços não é, em geral, fechada sob soma (ex.: (1,0,1,0) e (0,1,0,1) estão em U, mas sua soma não satisfaz nem x=z nem y=t).

Passo 5

Análise de T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+\cos z=1\}:
A condição não é homogênea (aparece \cos z e o termo constante 1). Mesmo contendo \mathbf{0}=(0,0,0), não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo, (x,y,z)\in T não implica (2x,2y,2z) em T).

Passo 6

Análise de V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2-z^2=0\}:
É definido por equação quadrática. Contém \mathbf{0}, mas não é fechado sob soma (por ex., (1,0,1) e (0,1,1) satisfazem a equação, mas sua soma não).

Resposta

a) Um subespaço vetorial de um espaço vetorial V é um subconjunto W\subseteq V que contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.
b) S é subespaço de \mathbb{R}^4.
c) U não é subespaço de \mathbb{R}^4.
d) T não é subespaço de \mathbb{R}^3.
e) V não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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