QUESTÃO ( 2,5 pontos)
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo sâo subespaços do respectivo
.
b)
e
c)
ou
d)
e)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) definir “subespaço vetorial”;
- (b–e) verificar se cada subconjunto dado é subespaço de
.
Passo 2
Definição de subespaço vetorial:
Um subconjunto de um espaço vetorial
sobre um corpo
é subespaço vetorial se e somente se:
Um subconjunto
-
. - Para quaisquer
, tem-se . - Para todo
e , tem-se .
Passo 3
Análise de
:
As condições são lineares homogêneas. Todo pode ser escrito como
As condições são lineares homogêneas. Todo
logo contém
, é fechado sob soma e escalar.
Passo 4
Análise de
:
É a união de dois subespaços (um definido por , outro por
). A união de subespaços não é, em geral, fechada sob soma (ex.:
e
estão em
, mas sua soma não satisfaz nem
nem
).
É a união de dois subespaços (um definido por
Passo 5
Análise de
:
A condição não é homogênea (aparece e o termo constante 1). Mesmo contendo
, não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo,
não implica
em
).
A condição não é homogênea (aparece
Passo 6
Análise de
:
É definido por equação quadrática. Contém , mas não é fechado sob soma (por ex.,
e
satisfazem a equação, mas sua soma não).
É definido por equação quadrática. Contém
Resposta
a) Um subespaço vetorial de um espaço vetorial
é um subconjunto
que contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.
b) é subespaço de
.
c) não é subespaço de
.
d) não é subespaço de
.
e) não é subespaço de
.
b)
c)
d)
e)