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Pergunta 7

A abordagem relativa às transformações lineares articula uma recapitulação a respeito das funções para a compreensão de vínculos entre variáveis cuja dinâmica de dependência e independência permite a formação de processos em espaços de diferentes dimensões. Assim sendo, em relação às propriedades relativas às funções, cabe destacar a propriedade que menciona uma situação na qual todo elemento de um domínio X encontra uma relação na variável de imagem Y.

Passo 1

O enunciado recapitula que uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais e pergunta qual é a propriedade de funções que garante que todo elemento do domínio X “encontra” alguma imagem em Y. O conteúdo aqui é a definição básica de função: além de ser unívoca, ela deve ser total, ou seja, definida para todo x\in X.

Passo 2

Lembrando que, por definição, uma função (ou aplicação) f\colon X\to Y é uma relação que associa a cada x\in X um único y\in Y. Essa definição bifurca em duas exigências principais:
  1. existência de imagem para todo elemento de X, e
  2. unicidade dessa imagem.

Passo 3

A parte que trata da existência diz exatamente que
\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon f(x)=y.
Essa exigência de que para todo x há pelo menos um y associado em Y é chamada de totalidade da aplicação (ou simplesmente “aplicação total”).

Resposta

A propriedade chama-se totalidade:
\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon f(x)=y.

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