Questão 3 ( 2 pontos) Desenhe o gráfico da função f(x, y)=-x^{2}-y^{2}+4 x+6 y-9.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função \;f(x,y) = -x^{2} - y^{2} + 4x + 6y - 9\;.
Informações dadas: a expressão algébrica de f em termos de x e y.
Pergunta explícita: desenhar (ou descrever) o gráfico dessa superfície tridimensional.

Passo 2

Objetivo imediato: transformar a expressão numa forma mais fácil de interpretar geometricamente. Uma técnica padrão é completar o quadrado em x e em y. Vou fazer isso passo a passo, mostrando por que e como se faz.

Passo 3

Complete o quadrado em x. Começamos isolando os termos com x:
-x^{2}+4x = -(x^{2}-4x).
Para completar o quadrado dentro do parêntese, lembramos que x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4. Então
-(x^{2}-4x) = -\big((x-2)^{2}-4\big) = -(x-2)^{2} + 4.
Explicação didática: completar o quadrado significa transformar x^{2}-4x numa expressão do tipo (x-a)^{2} subtraindo/ somando o termo necessário. Aqui a=2 porque -4x corresponde a 2\cdot x\cdot(-2).

Passo 4

Complete o quadrado em y. Procedimento análogo:
-y^{2}+6y = -(y^{2}-6y).
E y^{2}-6y = (y-3)^{2}-9. Logo
-(y^{2}-6y) = -\big((y-3)^{2}-9\big) = -(y-3)^{2} + 9.

Passo 5

Agora substituímos os resultados em f. Trocando os blocos completados:
f(x,y) = \big(-(x-2)^{2}+4\big) + \big(-(y-3)^{2}+9\big) - 9.
Agrupando constantes 4+9-9 = 4, obtemos a forma final:
f(x,y) = -(x-2)^{2} - (y-3)^{2} + 4.

Passo 6

Interprete a forma obtida. Temos uma expressão do tipo
f(x,y) = -\big((x-2)^{2} + (y-3)^{2}\big) + 4.
Isso significa:
  • O ponto (2,3) no plano xy é o centro (projeção do vértice) da superfície.
  • O valor máximo de f é 4, alcançado em x=2,\;y=3, ou seja o vértice da superfície é (2,3,4).
  • O sinal negativo na frente do somatório dos quadrados indica que a superfície “abre para baixo” (é um topo); à medida que (x,y) se afasta de (2,3), f decresce.

Passo 7

Curvas de nível (importantes para desenhar): para uma constante k fixada, a curva de nível \{(x,y): f(x,y)=k\} satisfaz
-(x-2)^{2} - (y-3)^{2} + 4 = k
ou equivalentemente
(x-2)^{2} + (y-3)^{2} = 4 - k.
Conclusões práticas:
  • Se 4-k>0 a curva de nível é um círculo de raio \sqrt{4-k} centrado em (2,3).
  • Se k=4 a curva de nível é o ponto (2,3) (vértice).
  • Se k>4 não há pontos (nenhuma interseção), pois o lado direito ficaria negativo.
Exemplos numéricos úteis para o desenho:
  • Para k=0: (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4 — círculo de raio 2 no plano z=0.
  • Para k=3: raio 1.
  • Para k=-5: raio \sqrt{9}=3.

Passo 8

Seções (traces) que ajudam a visualizar:
  • Se fixarmos y=3, obtemos f(x,3)=-(x-2)^{2}+4, que é uma parábola em xz-plano com vértice em (2,4) (no eixo vertical passando por x=2).
  • Se fixarmos x=2, obtemos f(2,y)=-(y-3)^{2}+4, similar em yz-plano.
    Essas seções mostram que em qualquer direção horizontal que passe por (2,3) a superfície tem um máximo local e decresce quadraticamente — isto é, é um “cúpula” simétrica.

Passo 9

Como desenhar passo a passo (receita prática para a prova):
  1. Faça um sistema de eixos x,y,z.
  2. Marque o vértice (2,3,4). Essa é a “ponta” superior.
  3. Desenhe as curvas de nível no plano z=0: o círculo (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4 (raio 2).
  4. Desenhe círculos menores para z=3 (raio 1) e círculos maiores para z<0 conforme desejar (por exemplo z=-5 tem raio 3). Todos centrados em (2,3).
  5. Una suavemente esses círculos formando uma superfície contínua que é mais alta no centro e desce em todas as direções (apoiando a ideia de abertura para baixo).
    Dica: traçar as seções parabólicas em planos que passam por (2,3) ajuda a dar a forma correta (as “fatias” verticais).

Passo 10

Resumo final das propriedades úteis para o desenho:
  • Vértice: (2,3,4).
  • Abertura: para baixo (máximo).
  • Curvas de nível: círculos centrados em (2,3) com raio \sqrt{4-k} para o nível k.
  • Interseção com o plano z=0: círculo de raio 2 dado por (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4.

Resposta

f(x,y) = -(x-2)^{2} - (y-3)^{2} + 4
Paraboloide circular com vértice em (2,3,4), que abre para baixo; interseção com z=0: (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4.

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