Questão 3 ( 2 pontos) Desenhe o gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
.
Informações dadas: a expressão algébrica de em termos de
e
.
Pergunta explícita: desenhar (ou descrever) o gráfico dessa superfície tridimensional.
Informações dadas: a expressão algébrica de
Pergunta explícita: desenhar (ou descrever) o gráfico dessa superfície tridimensional.
Passo 2
Objetivo imediato: transformar a expressão numa forma mais fácil de interpretar geometricamente. Uma técnica padrão é completar o quadrado em
e em
. Vou fazer isso passo a passo, mostrando por que e como se faz.
Passo 3
Complete o quadrado em
. Começamos isolando os termos com
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, lembramos que
. Então
Explicação didática: completar o quadrado significa transformar
numa expressão do tipo
subtraindo/ somando o termo necessário. Aqui
porque
corresponde a
.
Passo 4
Complete o quadrado em
. Procedimento análogo:
E
. Logo
Passo 5
Agora substituímos os resultados em
. Trocando os blocos completados:
Agrupando constantes
, obtemos a forma final:
Passo 6
Interprete a forma obtida. Temos uma expressão do tipo
Isso significa:
- O ponto
no plano é o centro (projeção do vértice) da superfície. - O valor máximo de
é , alcançado em , ou seja o vértice da superfície é . - O sinal negativo na frente do somatório dos quadrados indica que a superfície “abre para baixo” (é um topo); à medida que
se afasta de , decresce.
Passo 7
Curvas de nível (importantes para desenhar): para uma constante
fixada, a curva de nível
satisfaz
ou equivalentemente
Conclusões práticas:
- Se
a curva de nível é um círculo de raio centrado em . - Se
a curva de nível é o ponto (vértice). - Se
não há pontos (nenhuma interseção), pois o lado direito ficaria negativo.
Exemplos numéricos úteis para o desenho:
- Para
: — círculo de raio no plano . - Para
: raio . - Para
: raio .
Passo 8
Seções (traces) que ajudam a visualizar:
- Se fixarmos
, obtemos , que é uma parábola em -plano com vértice em (no eixo vertical passando por ). - Se fixarmos
, obtemos , similar em -plano.
Essas seções mostram que em qualquer direção horizontal que passe pora superfície tem um máximo local e decresce quadraticamente — isto é, é um “cúpula” simétrica.
Passo 9
Como desenhar passo a passo (receita prática para a prova):
- Faça um sistema de eixos
. - Marque o vértice
. Essa é a “ponta” superior. - Desenhe as curvas de nível no plano
: o círculo (raio ). - Desenhe círculos menores para
(raio ) e círculos maiores para conforme desejar (por exemplo tem raio ). Todos centrados em . - Una suavemente esses círculos formando uma superfície contínua que é mais alta no centro e desce em todas as direções (apoiando a ideia de abertura para baixo).
Dica: traçar as seções parabólicas em planos que passam porajuda a dar a forma correta (as “fatias” verticais).
Passo 10
Resumo final das propriedades úteis para o desenho:
- Vértice:
. - Abertura: para baixo (máximo).
- Curvas de nível: círculos centrados em
com raio para o nível . - Interseção com o plano
: círculo de raio dado por .
Resposta
Paraboloide circular com vértice em
, que abre para baixo; interseção com
:
.