Questão 5 (2 pontos) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: a função f é contínua? Devemos justificar a resposta.
Informações importantes fornecidas:
  • A expressão racional para (x,y)\neq(0,0) tem numerador y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3} e denominador (x^{2}+y^{2})^{2}.
  • O valor dado no ponto (0,0) é 0.
  • Precisamos analisar continuidade em pontos diferentes de (0,0) e no próprio (0,0).]

Passo 2

Lembrança (definição) útil e estratégia: uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em um ponto (a,b) se
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Estratégia prática para avaliar continuidade aqui:
  • Para (x,y)\neq(0,0): verificar que a expressão é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo já é contínua nesses pontos.
  • Em (0,0): calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Se esse limite existir e for igual a 0, então f é contínua em (0,0); se não existir ou for diferente de 0, então não é contínua em (0,0).
    Também usaré a ideia prática: se limites ao longo de duas direções (caminhos) diferentes forem diferentes, então o limite total não existe.

Passo 3

Continuidade fora da origem (pontos (x,y)\neq(0,0)):
A expressão
\frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
é razão de dois polinômios em x,y. Para qualquer ponto (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0 o denominador é diferente de zero, logo a função é composição de operações contínuas (soma, produto, divisão por número não nulo). Portanto f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Definição e ideia aplicada ao ponto (0,0):
Queremos saber se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
existe e se é igual a 0. Uma maneira simples e direta é avaliar o limite ao longo de trajetórias especiais (por exemplo, eixos x e y). Se encontrarmos duas trajetórias com limites diferentes, já concluímos que o limite não existe e, portanto, f não é contínua em (0,0).

Passo 5

Limite ao longo do eixo x (trajetória y=0, x\to0):
Substituindo y=0 na expressão para (x,y)\neq(0,0),
f(x,0)=\frac{0^{4}+3x^{2}\cdot0^{2}+2\cdot0\cdot x^{3}}{(x^{2}+0^{2})^{2}}=\frac{0}{x^{4}}=0\quad\text{para }x\neq0.
Então ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo x,
\lim_{x\to0} f(x,0)=0.

Passo 6

Limite ao longo do eixo y (trajetória x=0, y\to0):
Substituindo x=0 na expressão para (x,y)\neq(0,0),
f(0,y)=\frac{y^{4}+3\cdot0^{2}\cdot y^{2}+2\cdot y\cdot 0^{3}}{(0^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{y^{4}}{y^{4}}=1\quad\text{para }y\neq0.
Então ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo y,
\lim_{y\to0} f(0,y)=1.

Passo 7

Conclusão sobre o limite em (0,0):
Obtivemos dois limites ao aproximar (0,0): pela trajetória y=0 o limite vale 0; pela trajetória x=0 o limite vale 1. Como esses dois valores são diferentes, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Pelo critério citado no Passo 2, se o limite não existe então não pode ser igual ao valor f(0,0)=0. Logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f não é contínua em (0,0). Ela é contínua em todos os pontos (x,y) com (x,y)\neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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