Use Property 11 to estimate the value of the integral.
54.
is the triangle enclosed by the lines
, and
54.
Passo 1
O enunciado pede para estimar o valor da integral dupla
onde
é o triângulo fechado pelas retas
,
e
. Informações dadas e pedidos claros:
- A região
tem vértices em , e (pois em dá ). - A função a ser integrada é
. - Queremos apenas uma estimativa usando a chamada “Property 11” (uma desigualdade envolvendo mínimos, máximos e a área da região).
Passo 2
Explicando a Property 11 de forma clara e intuitiva: se uma função contínua
numa região
satisfaz
onde
é o menor valor possível de
em
e
é o maior valor possível, então a integral dupla satisfaz
Por que isso é razoável? Pense em dividir
em muitas pecinhas pequenas: em cada pecinha,
vale entre
e
, então a soma (integral) fica entre somas constantes
vezes a área total e
vezes a área total. É uma ferramenta ótima quando não queremos calcular a integral exatamente, só obter limites/estimativas.
Passo 3
Vamos aplicar a Property 11 ao nosso
sobre
. Primeiro determinamos o intervalo de variação de
em
. Avaliamos
nos vértices (dados no Passo 1):
Como
é contínuo e
é convexo,
assume todos os valores entre
e
em
. Logo
Passo 4
Agora analisamos a função
no intervalo
. Observações úteis:
-
para todo , então o mínimo possível é pelo menos . -
sempre, porque ; assim é um candidato a máximo.
Verificamos se os extremos são realmente atingidos no intervalo: - Em
temos , então o mínimo é atingido no ponto . - Para o máximo
precisamos de , o que ocorre em . Como , existe pelo menos um ponto em com (por exemplo, e esse satisfaz ), então é atingido também.
Portanto, sobretemos
Passo 5
Calculamos a área da região
. É um triângulo com base ao longo do eixo
de
a
e altura (na vertical) igual a
quando
. Assim
Passo 6
Aplicando a Property 11 com
,
e
, obtemos
ou seja
Isso nos dá a estimativa pedida. Note que os limites são atingíveis: a função é zero em
e assume valor
em pontos com
, então a desigualdade não é apenas formal — os extremos são reais na região.