Use Property 11 to estimate the value of the integral.
54. \iint_{T} \sin ^{4}(x+y) d A, \quad T is the triangle enclosed by the lines y=0, y=2 x, and x=1

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor da integral dupla
\iint_{T} \sin^{4}(x+y)\,dA,
onde T é o triângulo fechado pelas retas y=0, y=2x e x=1. Informações dadas e pedidos claros:
  • A região T tem vértices em (0,0), (1,0) e (1,2) (pois y=2x em x=1 y=2).
  • A função a ser integrada é f(x,y)=\sin^{4}(x+y).
  • Queremos apenas uma estimativa usando a chamada “Property 11” (uma desigualdade envolvendo mínimos, máximos e a área da região).

Passo 2

Explicando a Property 11 de forma clara e intuitiva: se uma função contínua f numa região R satisfaz
m \le f(x,y) \le M\quad\text{para todo }(x,y)\in R,
onde m é o menor valor possível de f em R e M é o maior valor possível, então a integral dupla satisfaz
m\cdot \text{Area}(R) \le \iint_{R} f(x,y)\,dA \le M\cdot \text{Area}(R).
Por que isso é razoável? Pense em dividir R em muitas pecinhas pequenas: em cada pecinha, f vale entre m e M, então a soma (integral) fica entre somas constantes m vezes a área total e M vezes a área total. É uma ferramenta ótima quando não queremos calcular a integral exatamente, só obter limites/estimativas.

Passo 3

Vamos aplicar a Property 11 ao nosso f(x,y)=\sin^{4}(x+y) sobre T. Primeiro determinamos o intervalo de variação de x+y em T. Avaliamos x+y nos vértices (dados no Passo 1):
(0,0)\mapsto x+y=0,\qquad (1,0)\mapsto x+y=1,\qquad (1,2)\mapsto x+y=3.
Como x+y é contínuo e T é convexo, x+y assume todos os valores entre 0 e 3 em T. Logo
x+y\in[0,3]\quad\text{para todo }(x,y)\in T.

Passo 4

Agora analisamos a função \sin^{4}(t) no intervalo t\in[0,3]. Observações úteis:
  • \sin^{4}(t)\ge 0 para todo t, então o mínimo possível é pelo menos 0.
  • \sin^{4}(t)\le 1 sempre, porque |\sin t|\le 1; assim 1 é um candidato a máximo.
    Verificamos se os extremos são realmente atingidos no intervalo t\in[0,3]:
  • Em t=0 temos \sin^{4}(0)=0, então o mínimo m=0 é atingido no ponto (0,0)\in T.
  • Para o máximo M=1 precisamos de |\sin t|=1, o que ocorre em t=\pi/2\approx 1{,}5708. Como \pi/2\in[0,3], existe pelo menos um ponto em T com x+y=\pi/2 (por exemplo, x=1,\;y=\pi/2-1 e esse y satisfaz 0\le y\le 2), então M=1 é atingido também.
    Portanto, sobre T temos
0 \le \sin^{4}(x+y) \le 1.

Passo 5

Calculamos a área da região T. É um triângulo com base ao longo do eixo x de 0 a 1 e altura (na vertical) igual a 2 quando x=1. Assim
\text{Area}(T)=\frac{1}{2}\cdot (\text{base})\cdot (\text{altura})=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1.

Passo 6

Aplicando a Property 11 com m=0, M=1 e \text{Area}(T)=1, obtemos
0\cdot 1 \le \iint_{T} \sin^{4}(x+y)\,dA \le 1\cdot 1,
ou seja
0 \le \iint_{T} \sin^{4}(x+y)\,dA \le 1.
Isso nos dá a estimativa pedida. Note que os limites são atingíveis: a função é zero em (0,0) e assume valor 1 em pontos com x+y=\pi/2, então a desigualdade não é apenas formal — os extremos são reais na região.

Resposta

0 \le \displaystyle\iint_{T} \sin^{4}(x+y)\,dA \le 1

Exercícios relacionados