Questão 5: (2 pontos)
Determine os autovalores e autovetores de A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & 2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será: (i) cálculo do polinômio característico de uma matriz triangular e (ii) solução de (A-\lambda I)x=0 para cada valor próprio \lambda.]

Passo 2

Como A é triangular inferior, o determinante de A-\lambda I é o produto dos termos da diagonal principal menos \lambda. Logo, o polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda).

Passo 3

As raízes de (3-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)=0 são
\lambda=2 (multiplicidade 1) e \lambda=3 (multiplicidade 2).

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0.
A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[3pt] 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Das duas primeiras equações vem x_1=0. Da última, x_2 + x_3=0, ou seja x_3=-x_2.
Logo um autovetor associado a \lambda=2 é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0.
A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[3pt] 1 & -1 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Da terceira equação vem x_2=0, da segunda x_1=x_2=0, e x_3 fica livre.
Um autovetor associado a \lambda=3 é
v^{(2)} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1=2, com autovetor v^{(1)}=(0,1,-1)^T.
\lambda_2=3, com autovetor v^{(2)}=(0,0,1)^T.

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