Questão 1: (2 pontos)
Mostre que
é subespaço de
. Ou seja, qualquer reta passando pela origem é um subespaço de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é subespaço de
.
Conteúdo: definição de subespaço vetorial em .
Precisamos verificar três propriedades:
Conteúdo: definição de subespaço vetorial em
Precisamos verificar três propriedades:
- contém o vetor zero;
- fechado sob soma;
- fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero de
está em
. Basta escolher
, pois
logo
.
Passo 3
Verificamos a soma. Sejam
. Então existem
tais que
Então
Como
, segue que
.
Passo 4
Verificamos a multiplicação escalar. Seja
e
. Como
para algum
, temos
Como
, segue que
.
Resposta
Portanto,
satisfaz as três condições de subespaço vetorial em
e, assim, é de fato um subespaço de
.