Questão 1: (2 pontos)
Mostre que U=\left\{u \in \mathbb{R}^{2} \mid u=\alpha(1,1), \forall \alpha \in \mathbb{R}\right\} é subespaço de \mathbb{R}^{2}. Ou seja, qualquer reta passando pela origem é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define
U = \{u \in \mathbb{R}^2 \mid u = \alpha(1,1),\\ \forall \alpha \in \mathbb{R}\}
e pede para mostrar que U é subespaço de \mathbb{R}^2.
Conteúdo: definição de subespaço vetorial em \mathbb{R}^2.
Precisamos verificar três propriedades:
  1. contém o vetor zero;
  2. fechado sob soma;
  3. fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de \mathbb{R}^2 está em U. Basta escolher \alpha=0, pois
0\cdot(1,1) = (0,0),
logo (0,0)\in U.

Passo 3

Verificamos a soma. Sejam u,v\in U. Então existem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
u = \alpha(1,1), \quad v = \beta(1,1).
Então
u+v = \alpha(1,1) + \beta(1,1) = (\alpha+\beta)(1,1).
Como \alpha+\beta\in\mathbb{R}, segue que u+v\in U.

Passo 4

Verificamos a multiplicação escalar. Seja u\in U e \gamma\in\mathbb{R}. Como u=\alpha(1,1) para algum \alpha, temos
\gamma u = \gamma\bigl(\alpha(1,1)\bigr) = (\gamma\alpha)(1,1).
Como \gamma\alpha\in\mathbb{R}, segue que \gamma u\in U.

Resposta

Portanto, U satisfaz as três condições de subespaço vetorial em \mathbb{R}^2 e, assim, é de fato um subespaço de \mathbb{R}^2.

Exercícios relacionados