Questāo 1:( 2,5 pontos) Determine a convergência ou divergência de cada uma das séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}}{n^{3}+\frac{1}{2}} \cdot(1.5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}}{n^{3}+\tfrac{1}{2}}
converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
  • O sinal alterna por causa do fator (-1)^{n}.
  • A parte positiva do termo (magnitude) é
a_n=\frac{n^{2}}{n^{3}+\tfrac{1}{2}}>0.
  • A pergunta é se a série converge (e, se converge, se é absolutamente convergente ou apenas condicional).

Passo 2

Primeiro ver se os termos a_n tendem a zero (condição necessária para qualquer convergência de série). Calculo o limite de a_n quando n\to\infty. Dividindo numerador e denominador por n^{3} dá:
a_n=\frac{n^{2}}{n^{3}+\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{1}{2n^{3}}}.
Como \tfrac{1}{n}\to0 e 1+\tfrac{1}{2n^{3}}\to1, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Portanto a condição necessária \lim a_n=0 está satisfeita.

Passo 3

Agora precisamos verificar se a sequência a_n é (eventualmente) monotonicamente decrescente, para poder aplicar o teste da série alternada (Leibniz). Considere a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+\tfrac{1}{2}},\qquad x>0,
de modo que a_n=f(n). Calculo a derivada f'(x):
f'(x)=\frac{2x(x^{3}+\tfrac{1}{2})-x^{2}\cdot 3x^{2}}{(x^{3}+\tfrac{1}{2})^{2}} =\frac{2x^{4}+x-3x^{4}}{(x^{3}+\tfrac{1}{2})^{2}} =\frac{x(1-x^{3})}{(x^{3}+\tfrac{1}{2})^{2}}.
Para x>1 tem-se 1-x^{3}<0 e o denominador é positivo, logo f'(x)<0 para todo x>1. Isso mostra que f é decrescente em (1,\infty), portanto a sequência (a_n) é decrescente a partir de n=2. (Em n=1 a derivada dá zero, mas isso não atrapalha: a sequência é decrescente para n\ge 2.)

Passo 4

Aplico o teste da série alternada (teste de Leibniz). O enunciado do teste é:
se (a_n) é uma sequência positiva, decrescente (a partir de algum N) e \lim_{n\to\infty} a_n=0, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n
converge. Já mostramos que a_n>0, que \lim a_n=0 e que a_n é decrescente para n\ge2. Portanto a série dada converge (pelo teste de Leibniz).

Passo 5

Agora verifico se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Considero a série das magnitudes (valor absoluto dos termos):
\sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n}a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+\tfrac{1}{2}}.
Faço uma comparação limite com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}. Calculo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}}{n^{3}+\tfrac{1}{2}}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+\tfrac{1}{2}}=1.
Como esse limite é finito e positivo, pelo teste da comparação limite a série \sum a_n tem o mesmo comportamento da série \sum \dfrac{1}{n}. A série harmônica diverge, portanto \sum a_n diverge. Assim a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Conclusão combinada: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{n^{2}}{n^{3}+\tfrac{1}{2}} converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (porque a série das magnitudes diverge). Ou seja, a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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