Questāo 1:( 2,5 pontos) Determine a convergência ou divergência de cada uma das séries:
pontos)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
- O sinal alterna por causa do fator
. - A parte positiva do termo (magnitude) é
- A pergunta é se a série converge (e, se converge, se é absolutamente convergente ou apenas condicional).
Passo 2
Primeiro ver se os termos
tendem a zero (condição necessária para qualquer convergência de série). Calculo o limite de
quando
. Dividindo numerador e denominador por
dá:
Como
e
, segue que
Portanto a condição necessária
está satisfeita.
Passo 3
Agora precisamos verificar se a sequência
é (eventualmente) monotonicamente decrescente, para poder aplicar o teste da série alternada (Leibniz). Considere a função
de modo que
. Calculo a derivada
:
Para
tem-se
e o denominador é positivo, logo
para todo
. Isso mostra que
é decrescente em
, portanto a sequência
é decrescente a partir de
. (Em
a derivada dá zero, mas isso não atrapalha: a sequência é decrescente para
.)
Passo 4
Aplico o teste da série alternada (teste de Leibniz). O enunciado do teste é:
se é uma sequência positiva, decrescente (a partir de algum
) e
, então a série
se
converge. Já mostramos que
, que
e que
é decrescente para
. Portanto a série dada converge (pelo teste de Leibniz).
Passo 5
Agora verifico se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Considero a série das magnitudes (valor absoluto dos termos):
Faço uma comparação limite com a série harmônica
. Calculo
Como esse limite é finito e positivo, pelo teste da comparação limite a série
tem o mesmo comportamento da série
. A série harmônica diverge, portanto
diverge. Assim a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Conclusão combinada: a série
converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (porque a série das magnitudes diverge). Ou seja, a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente.