Questão 3. (3,0 pontos) Determine o intervalo de convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(3 x+5)^{n}}{n \ln (n)}
estudando a convergência dos extremos neste intervalo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(3x+5)^{n}}{n\ln(n)}
Isso envolve dois conteúdos principais:
  1. Teste da razão para determinar o raio de convergência.
  2. Análise nos extremos do intervalo (teste de Leibniz para séries alternadas e teste da integral ou comparação para divergência).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à sequência de termos
a_{n} = (-1)^{n}\,\frac{(3x+5)^{n}}{n\ln(n)}.
Como |(-1)^{n}|=1, basta olhar para
\bigl|b_{n}\bigr| = \frac{|3x+5|^{n}}{n\ln(n)}.
O teste da razão diz que convergimos absolutamente se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right|<1.
Calculemos essa razão:
\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| =\frac{|3x+5|^{\,n+1}/\bigl((n+1)\ln(n+1)\bigr)}{|3x+5|^{\,n}/\bigl(n\ln(n)\bigr)} =|3x+5|\;\frac{n\ln(n)}{(n+1)\ln(n+1)}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln(n)}{(n+1)\ln(n+1)}=1,
ficamos com a condição
|3x+5|<1
para convergência absoluta.

Passo 3

Resolvendo
|3x+5|<1
temos
-1<3x+5<1.
Subtraindo 5 de todos os lados:
-6<3x< -4,
e dividindo por 3:
-2<x<-\tfrac{4}{3}.
Portanto, o raio de convergência nos dá o intervalo
(-2,-\tfrac{4}{3})
com convergência absoluta em todos os x internos.

Passo 4

Agora examinamos o extremo x=-2. Substituindo em 3x+5 obtemos
3(-2)+5=-1.
Logo o termo geral vira
(-1)^{n}\,\frac{(-1)^{n}}{n\ln(n)} =\frac{1}{n\ln(n)}.
A série passa a ser
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)},
que sabemos divergir (por comparação com a integral \int_{2}^{\infty}\tfrac{dx}{x\ln(x)}). Logo não há convergência em x=-2.

Passo 5

Examinamos o extremo x=-\tfrac{4}{3}. Então
3\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)+5=1,
e o termo geral fica
(-1)^{n}\,\frac{1^{n}}{n\ln(n)} =\frac{(-1)^{n}}{n\ln(n)}.
Essa é uma série alternada com
b_{n}=\frac{1}{n\ln(n)},
que é positiva, monótona decrescente (para n\ge2) e tende a zero. Pelo teste de Leibniz, ela converge. Como não converge absolutamente (pois \sum 1/[n\ln(n)] diverge), a convergência é condicional nesse ponto.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-2,-\tfrac{4}{3}],
com divergência em x=-2 e convergência condicional em x=-\tfrac{4}{3}.

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