Questão 3. (3,0 pontos) Determine o intervalo de convergência da série
estudando a convergência dos extremos neste intervalo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências
Isso envolve dois conteúdos principais:
- Teste da razão para determinar o raio de convergência.
- Análise nos extremos do intervalo (teste de Leibniz para séries alternadas e teste da integral ou comparação para divergência).
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à sequência de termos
Como
, basta olhar para
O teste da razão diz que convergimos absolutamente se
Calculemos essa razão:
Como
ficamos com a condição
para convergência absoluta.
Passo 3
Resolvendo
temos
Subtraindo
de todos os lados:
e dividindo por
:
Portanto, o raio de convergência nos dá o intervalo
com convergência absoluta em todos os
internos.
Passo 4
Agora examinamos o extremo
. Substituindo em
obtemos
Logo o termo geral vira
A série passa a ser
que sabemos divergir (por comparação com a integral
). Logo não há convergência em
.
Passo 5
Examinamos o extremo
. Então
e o termo geral fica
Essa é uma série alternada com
que é positiva, monótona decrescente (para
) e tende a zero. Pelo teste de Leibniz, ela converge. Como não converge absolutamente (pois
diverge), a convergência é condicional nesse ponto.
Resposta
O intervalo de convergência é
com divergência em
e convergência condicional em
.