Mostre que a seguência
é convergente e calcule o valor de seu limite como razão entre dois inteiros.
Passo 1
O enunciado define a sequência pelos aproximantes
ou seja, cada termo acrescenta alternativamente o dígito
e
à direita, formando o decimal periódico
O conteúdo é reconhecer que uma decimal periódica é racional e calcular sua fração.
Passo 2
Note que a sequência é crescente (cada termo adiciona um dígito positivo) e está limitada superiormente por
. Pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge exatamente para
.
Passo 3
Para achar
, escrevemos
Passo 4
Dentro da soma agrupamos
logo
Passo 5
Somando as parcelas iniciais,
Resposta
A sequência converge e