Mostre que a seguência
0,29 \quad 0,298 \quad 0,2989 \quad 0,29898 \quad 0,298989
é convergente e calcule o valor de seu limite como razão entre dois inteiros.

Passo 1

O enunciado define a sequência pelos aproximantes
0,29,\;0,298,\;0,2989,\;0,29898,\;\dots
ou seja, cada termo acrescenta alternativamente o dígito 8 e 9 à direita, formando o decimal periódico
L = 0,29898989\ldots
O conteúdo é reconhecer que uma decimal periódica é racional e calcular sua fração.

Passo 2

Note que a sequência é crescente (cada termo adiciona um dígito positivo) e está limitada superiormente por L. Pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge exatamente para L.

Passo 3

Para achar L, escrevemos
L = \frac{2}{10} + \frac{9}{10^2} + \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl(\frac{8}{10^{2m+1}} + \frac{9}{10^{2m+2}}\Bigr).

Passo 4

Dentro da soma agrupamos
\frac{8}{10^{2m+1}} + \frac{9}{10^{2m+2}} = \frac{8\cdot10 + 9}{10^{2m+2}} = \frac{89}{10^{2m+2}},
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\sum_{m=1}^{\infty}\frac{89}{10^{2m+2}} = \frac{89}{10^4}\sum_{m=1}^{\infty}(10^{-2})^{m-1} = \frac{89}{10^4}\cdot\frac{1}{1-10^{-2}} = \frac{89}{9900}.

Passo 5

Somando as parcelas iniciais,
\frac{2}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{89}{9900} = \frac{1980 + 891 + 89}{9900} = \frac{2960}{9900} = \frac{148}{495}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{148}{495}.

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