Considere a série
Prove que a série é convergente e calcule explicitamente uma aproximação do valor da soma da série com erro menor que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede (1) provar convergência e (2) aproximar a soma com erro menor que
. Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternadas e a estimativa de resto, além de reconhecer que esta é a expansão em série de Taylor de
em
.
Passo 2
Para aplicar o critério de Leibniz consideramos
Note que para todo
vale
-
. -
, ou seja, é decrescente. -
, pois o fatorial cresce sem limite.
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 3
Reconhecemos que a série de Taylor de
é
Tomando
e reindexando
, obtemos
Portanto, a soma exata da série é
.
Passo 4
Para aproximar a soma com erro controlado, usamos o fato de que, em séries alternadas que satisfazem as hipóteses de Leibniz, o erro
ao truncar após
termos em valor absoluto satisfaz
Passo 5
Queremos
. Testamos valores de
:
- Para
temos , ainda maior que . - Para
temos
Logo basta truncar em.
Passo 6
O polinômio parcial de ordem
é
e o resto satisfaz
.
Resposta
A série converge e sua soma é
. Uma aproximação com erro menor que
é