Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{(2 n-1)!}=1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\ldots
Prove que a série é convergente e calcule explicitamente uma aproximação do valor da soma da série com erro menor que 2 \cdot 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!} =1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\cdots
e pede (1) provar convergência e (2) aproximar a soma com erro menor que 2\cdot10^{-4}. Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternadas e a estimativa de resto, além de reconhecer que esta é a expansão em série de Taylor de \sin(x) em x=1.

Passo 2

Para aplicar o critério de Leibniz consideramos
a_n=\frac{1}{(2n-1)!}\quad(n\ge1).
Note que para todo n vale
  1. a_n>0.
  2. a_{n+1}=\frac{1}{(2n+1)!}<\frac{1}{(2n-1)!}=a_n, ou seja, (a_n) é decrescente.
  3. \lim_{n\to\infty}a_n=0, pois o fatorial cresce sem limite.
    Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Reconhecemos que a série de Taylor de \sin(x) é
\sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Tomando x=1 e reindexando n=k+1, obtemos
\sin(1) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}.
Portanto, a soma exata da série é \sin(1).

Passo 4

Para aproximar a soma com erro controlado, usamos o fato de que, em séries alternadas que satisfazem as hipóteses de Leibniz, o erro R_N ao truncar após N termos em valor absoluto satisfaz
|R_N|\le a_{N+1}=\frac{1}{(2(N+1)-1)!}=\frac{1}{(2N+1)!}.

Passo 5

Queremos 1/(2N+1)!<2\cdot10^{-4}. Testamos valores de N:
  • Para N=2 temos 1/(5!)=1/120\approx8{,}33\times10^{-3}, ainda maior que 2\times10^{-4}.
  • Para N=3 temos 1/(7!)=1/5040\approx1{,}984\times10^{-4}<2\times10^{-4}.
    Logo basta truncar em N=3.

Passo 6

O polinômio parcial de ordem N=3 é
S_3=1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!} =1-\frac{1}{6}+\frac{1}{120} =1-0{,}1666667+0{,}0083333 =0{,}8416666\ldots
e o resto satisfaz |R_3|\le1/7!<2\times10^{-4}.

Resposta

A série converge e sua soma é \sin(1). Uma aproximação com erro menor que 2\cdot10^{-4} é
0{,}84167\quad(\pm2\times10^{-4}).

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