QUESTÃO 3 (3 pontos) - Determine a matriz A a partir da informaçâo dada.
(1+2 A)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3 & 8 \\\\ 4 & -5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá
(1 + 2A)^{-1} = \begin{pmatrix}-3 & 8 \\[4pt] 4 & -5\end{pmatrix}
e pede A. Aqui 1 representa a matriz identidade I. Vamos usar a relação
1 + 2A = \bigl((1 + 2A)^{-1}\bigr)^{-1}
e a fórmula de inversão de matrizes 2\times2.]

Passo 2

Chamando
B = \begin{pmatrix}-3 & 8 \\[4pt] 4 & -5\end{pmatrix},
calculamos seu determinante:
\det(B) = (-3)(-5) - (8)(4) = 15 - 32 = -17.]

Passo 3

Pela fórmula
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} \quad\text{para }B=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
temos
B^{-1} = \frac{1}{-17} \begin{pmatrix}-5 & -8 \\[4pt] -4 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5/17 & 8/17 \\[4pt]4/17 & 3/17\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como 1+2A = B^{-1}, segue
2A = B^{-1} - I = \begin{pmatrix}5/17 & 8/17 \\[4pt]4/17 & 3/17\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12/17 & 8/17 \\[4pt]4/17 & -14/17\end{pmatrix}.]

Passo 5

Dividindo por 2 para isolar A,
A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-12/17 & 8/17 \\[4pt]4/17 & -14/17\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6/17 & 4/17 \\[4pt]2/17 & -7/17\end{pmatrix}.]

Resposta

A = \begin{pmatrix} -6/17 & 4/17 \\[4pt] 2/17 & -7/17 \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados