QUESTAO 2 (2 pontos) - Use a expansão por cofatores para calcular o determinante da matriz A abaixo.
\left|\begin{array}{ccccc} -3 & -3 & -3 & 3 & 3 \\\\ 0 & -1 & -1 & 5 & -4 \\\\ 0 & 0 & -3 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 5 & -5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & -3 & -3 & 3 & 3 \\\\ 0 & -1 & -1 & 5 & -4 \\\\ 0 & 0 & -3 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 5 & -5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}
usando expansão por cofatores. Vamos aplicar a definição de determinante por expansão em colunas ou linhas, e calcular sucessivamente menores de ordem inferior.

Passo 2

Expansão por cofatores ao longo da primeira coluna de A: só o elemento a_{11}=-3 é não nulo nessa coluna. Assim,
\det(A) = (-3)\cdot(-1)^{1+1}\,\det(M),
onde M é a matriz 4\times 4 obtida de A retirando linha 1 e coluna 1, ou seja
M = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 5 & -4 \\\\ 0 & -3 & -1 & 4 \\\\ 0 & 5 & -5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}.
Portanto
\det(A) = -3\,\det(M).

Passo 3

Para \det(M), expandimos ao longo da primeira coluna de M. Só o elemento m_{11}=-1 é não nulo, logo
\det(M) = (-1)\cdot(-1)^{1+1}\,\det(N)
com N sendo o menor 3\times 3 obtido eliminando linha 1 e coluna 1 de M:
N = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 4 \\\\ 5 & -5 & 1 \\\\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}.
Assim
\det(M) = -1\cdot\det(N) = -\det(N).

Passo 4

Para \det(N), notamos que a última linha tem apenas o elemento n_{33}=-5 não nulo. Expandindo por essa linha:
\det(N) = (-5)\cdot(-1)^{3+3}\, \det\!\begin{pmatrix}-3 & -1 \\\\ 5 & -5\end{pmatrix} = -5\bigl[(-3)(-5)-(5)(-1)\bigr].
Calculando o 2\times 2:
(-3)(-5)-(5)(-1)=15-(-5)=20,
logo
\det(N) = -5\cdot20 = -100.

Passo 5

Voltando:
\det(M) = -\det(N) = -(-100)=100,
e
\det(A) = -3\,\det(M) = -3\cdot100 = -300.

Resposta

-300

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