QUESTAO 3 (3 pontos) - Determine a matriz A a partir da informação dada. \left(5 A^{T}\right)^{-1}=\left|\begin{array}{ll}3 & 3 \\\\ 2 & 4\end{array}\right| Passo 1O enunciado pede para determinar a matriz A de ordem 2\times2 sabendo que \bigl(5\,A^{T}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 3\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix}. O conteúdo envolve propriedades de inversa de produto e de transposta: \bigl(B^{-1}\bigr)^{-1}=B. \bigl(kB\bigr)^{-1}=\tfrac{1}{k}\,B^{-1} para escalar k\neq0. \bigl(B^{T}\bigr)^{-1}=(B^{-1})^{T}. Passo 2Aplicando inversa aos dois lados temos 5\,A^{T} = \biggl(\begin{pmatrix}3 & 3\\\ 2 & 4\end{pmatrix}\biggr)^{-1}. Em seguida, isolamos A^{T}: A^{T} =\frac{1}{5}\, \biggl(\begin{pmatrix}3 & 3\\\ 2 & 4\end{pmatrix}\biggr)^{-1}. Passo 3Calculemos a inversa de \displaystyle M=\begin{pmatrix}3 & 3\\\ 2 & 4\end{pmatrix}. O determinante é \det(M)=3\cdot4-3\cdot2=12-6=6, logo M^{-1} =\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -3\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix}. Passo 4Substituindo em A^{T}=\tfrac{1}{5}M^{-1} obtemos A^{T} =\frac{1}{5}\,\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -3\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 4 & -3\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix}. Para achar A, transpondo: A =\bigl(A^{T}\bigr)^{T} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 4 & -2\\\\ -3 & 3 \end{pmatrix}. Passo 5Bast a simplificar as entradas: A = \begin{pmatrix} \frac{4}{30} & -\frac{2}{30}\\[6pt] -\frac{3}{30} & \frac{3}{30} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{15} & -\frac{1}{15}\\[4pt] -\frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}.] Resposta A = \begin{pmatrix} \frac{2}{15} & -\frac{1}{15}\\\\ -\frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQUESTAO 2 (2 pontos) - Use a expansão por cofatores para calcular o determinante da matriz A abaixo. \left|\begin{array}{ccccc} -3 & -3 & -3 & 3 & 3 \\\\ 0 & -1 & -1 & 5 & -4 \\\\ 0 & 0 & -3 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 5 & -5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \end{array}\right| Classifique os sistemas abaixo e faça o que se pede. Realize operações elementares sobre linhas para classificar os sistemas abaixo em sistema consistente/inconsistente. Caso o sistema seja consistente, indique se ele é determinado ou indeterminado. Se existir algum sistema indeterminado, ache a solução geral e uma solução particular deste sistema. \left\{\begin{array} { r } { 3 x + 2 y - z = - 1 3 } \\\ { - 2 x + y + 4 z = 1 4 } \\\ { x + 3 y + z = - 5 } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{c} 11 x+5 y-7 z+53=0 \\\ x+10 y+13 z-17=0 \\\\ -8 x-10 y-4 z-24=0 \end{array}\right.\right. QUESTÃO 3 (3 pontos) - Determine a matriz A a partir da informaçâo dada. (1+2 A)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3 & 8 \\\\ 4 & -5\end{array}\right)