QUESTAO 3 (3 pontos) - Determine a matriz A a partir da informação dada.
\left(5 A^{T}\right)^{-1}=\left|\begin{array}{ll}3 & 3 \\\\ 2 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz A de ordem 2\times2 sabendo que
\bigl(5\,A^{T}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 3\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve propriedades de inversa de produto e de transposta:
  1. \bigl(B^{-1}\bigr)^{-1}=B.
  2. \bigl(kB\bigr)^{-1}=\tfrac{1}{k}\,B^{-1} para escalar k\neq0.
  3. \bigl(B^{T}\bigr)^{-1}=(B^{-1})^{T}.

Passo 2

Aplicando inversa aos dois lados temos
5\,A^{T} = \biggl(\begin{pmatrix}3 & 3\\\ 2 & 4\end{pmatrix}\biggr)^{-1}.
Em seguida, isolamos A^{T}:
A^{T} =\frac{1}{5}\, \biggl(\begin{pmatrix}3 & 3\\\ 2 & 4\end{pmatrix}\biggr)^{-1}.

Passo 3

Calculemos a inversa de \displaystyle M=\begin{pmatrix}3 & 3\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M)=3\cdot4-3\cdot2=12-6=6,
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M^{-1} =\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -3\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Substituindo em A^{T}=\tfrac{1}{5}M^{-1} obtemos
A^{T} =\frac{1}{5}\,\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & -3\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 4 & -3\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix}.
Para achar A, transpondo:
A =\bigl(A^{T}\bigr)^{T} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} 4 & -2\\\\ -3 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Bast a simplificar as entradas:
A = \begin{pmatrix} \frac{4}{30} & -\frac{2}{30}\\[6pt] -\frac{3}{30} & \frac{3}{30} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{15} & -\frac{1}{15}\\[4pt] -\frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}.]

Resposta

A = \begin{pmatrix} \frac{2}{15} & -\frac{1}{15}\\\\ -\frac{1}{10} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}.

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