Questão 4: (2.5 pontos)
Determine a menor distância de um ponto sobre a hipérbole x y=1 até a origem.
(Dica: Trabalhe com a função que calcula o quadrado da distância.)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a menor distância de um ponto que pertence à hipérbole x y = 1 até a origem (0,0).\n
Informações dadas:
x y = 1
ou seja, os pontos possíveis são todos os pares (x,y) que satisfazem essa equação. Queremos minimizar a distância entre (x,y) e a origem. A dica diz para trabalhar com o quadrado da distância — vamos seguir essa dica.\n
Observações importantes (sem resolver ainda): a hipérbole tem dois ramos (um em que x>0,y>0 e outro em que x<0,y<0), e a distância ao origem depende de x e y. Não vamos assumir nada além do que o enunciado dá.

Passo 2

Definimos a distância entre um ponto (x,y) e a origem por
d(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Minimizar d é equivalente a minimizar o quadrado da distância porque a raiz quadrada é uma função estritamente crescente em valores não negativos. Então trabalhamos com
D(x,y)=x^{2}+y^{2},
que é mais simples (evita a raiz). Explicando a ideia: se para dois pontos A e B temos D(A)<D(B), então necessariamente d(A)=\sqrt{D(A)}<\sqrt{D(B)}=d(B). Portanto o mínimo de D acontece no mesmo ponto que o mínimo de d.

Passo 3

Usamos a restrição da hipérbole para eliminar uma variável. Da equação \,x y = 1\, segue que
y=\frac{1}{x},
sempre que x\neq 0. Substituímos na função D para obter uma função de uma única variável:
D(x)=x^{2}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+x^{-2},\qquad x\neq 0.
Por simetria da hipérbole (se (x,y) é solução então (-x,-y) também é), e por D(x) só depender de x^{2} e x^{-2}, basta procurar o mínimo para x>0; o caso x<0 dará o mesmo valor mínimo em -x. Portanto consideramos x>0.

Passo 4

Agora vamos minimizar a função real de uma variável
f(x)=x^{2}+x^{-2},\qquad x>0.
Explico as derivadas que vamos usar: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x. A derivada de x^{-2} é -2x^{-3} (porque usamos a regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}). Assim, a derivada de f é
f'(x)=2x-2x^{-3}.

Passo 5

Procuramos pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
2x-2x^{-3}=0.
Dividindo ambos os lados por 2 temos
x-x^{-3}=0.
Multiplicando por x^{3} (válido pois x\neq 0) obtemos
x^{4}-1=0.
Assim
x^{4}=1.
Das soluções reais, para x>0 temos x=1 (as outras raízes reais incluem -1, que pertence ao ramo negativo; raízes complexas descartadas). Então o candidato para mínimo em x>0 é x=1.

Passo 6

Confirmamos que é mínimo usando a segunda derivada. Calculamos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x-2x^{-3}\bigr)=2+6x^{-4}.
Note que para todo x\neq 0 temos x^{-4}>0, logo f''(x)=2+6x^{-4}>0. Em particular f''(1)=2+6=8>0. Como a segunda derivada é positiva no ponto crítico x=1, esse ponto é um mínimo local — e de fato será o mínimo global em x>0 porque f(x)\to\infty quando x\to0^{+} ou x\to\infty. Portanto o mínimo de D ocorre em x=1.
Avaliamo-lo:
D_{\min}=f(1)=1^{2}+1^{-2}=1+1=2.
Logo o quadrado da menor distância é 2, e a menor distância é a raiz quadrada disso:
d_{\min}=\sqrt{2}.
Os pontos da hipérbole que dão essa distância são (1,1) e, por simetria, (-1,-1) (ambos satisfazem xy=1 e estão à mesma distância da origem).

Resposta

\sqrt{2}

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