Questão 4: (2.5 pontos)
Determine a menor distância de um ponto sobre a hipérbole
até a origem.
(Dica: Trabalhe com a função que calcula o quadrado da distância.)
(Dica: Trabalhe com a função que calcula o quadrado da distância.)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a menor distância de um ponto que pertence à hipérbole
até a origem
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
ou seja, os pontos possíveis são todos os pares
que satisfazem essa equação. Queremos minimizar a distância entre
e a origem. A dica diz para trabalhar com o quadrado da distância — vamos seguir essa dica.\n
Observações importantes (sem resolver ainda): a hipérbole tem dois ramos (um em que e outro em que
), e a distância ao origem depende de
e
. Não vamos assumir nada além do que o enunciado dá.
Observações importantes (sem resolver ainda): a hipérbole tem dois ramos (um em que
Passo 2
Definimos a distância entre um ponto
e a origem por
Minimizar
é equivalente a minimizar o quadrado da distância porque a raiz quadrada é uma função estritamente crescente em valores não negativos. Então trabalhamos com
que é mais simples (evita a raiz). Explicando a ideia: se para dois pontos
e
temos
, então necessariamente
. Portanto o mínimo de
acontece no mesmo ponto que o mínimo de
.
Passo 3
Usamos a restrição da hipérbole para eliminar uma variável. Da equação
segue que
sempre que
. Substituímos na função
para obter uma função de uma única variável:
Por simetria da hipérbole (se
é solução então
também é), e por
só depender de
e
, basta procurar o mínimo para
; o caso
dará o mesmo valor mínimo em
. Portanto consideramos
.
Passo 4
Agora vamos minimizar a função real de uma variável
Explico as derivadas que vamos usar: a derivada de
em relação a
é
. A derivada de
é
(porque usamos a regra de potência:
). Assim, a derivada de
é
Passo 5
Procuramos pontos críticos resolvendo
:
Dividindo ambos os lados por
temos
Multiplicando por
(válido pois
) obtemos
Assim
Das soluções reais, para
temos
(as outras raízes reais incluem
, que pertence ao ramo negativo; raízes complexas descartadas). Então o candidato para mínimo em
é
.
Passo 6
Confirmamos que é mínimo usando a segunda derivada. Calculamos
Note que para todo
temos
, logo
. Em particular
. Como a segunda derivada é positiva no ponto crítico
, esse ponto é um mínimo local — e de fato será o mínimo global em
porque
quando
ou
. Portanto o mínimo de
ocorre em
.
Avaliamo-lo:
Logo o quadrado da menor distância é
, e a menor distância é a raiz quadrada disso:
Os pontos da hipérbole que dão essa distância são
e, por simetria,
(ambos satisfazem
e estão à mesma distância da origem).