Calcule \int_{C} x e^{x z} d s, onde C é o segmento de reta que vai de A(0,0,0) até B(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x e^{x z}\, d s
onde C é o segmento de reta que vai de A(0,0,0) até B(1,1,-1). Informações dadas e o que é pedido:
  • Pontos finais do segmento: A=(0,0,0) e B=(1,1,-1).
  • A integral é com diferencial d s, ou seja, é uma integral de uma função escalar em relação ao comprimento de arco ao longo de C.
  • Precisamos calcular numericamente o valor dessa integral ao longo do segmento indicado.

Passo 2

Explicação do que significa integrar uma função escalar ao longo de uma curva com d s e como procedemos:
  • Se temos uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b], a integral de uma função escalar f(x,y,z) com respeito ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y,z)\, d s = \int_{a}^{b} f(x(t),y(t),z(t))\, \|\mathbf{r}'(t)\|\, dt.
  • Aqui \|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}} é a velocidade, que transforma d t em d s.
  • Então nossa tarefa: parametrizar o segmento C, avaliar x e^{x z} na parametrização, calcular \|\mathbf{r}'(t)\| e integrar.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta de A até B:
  • A parametrização linear padrão é
\mathbf{r}(t)=A+(B-A)t,
com t\in[0,1].
  • Calculando B-A=(1,1,-1)-(0,0,0)=(1,1,-1), logo
\mathbf{r}(t)=(t,\;t,\;-t),\qquad t\in[0,1].
  • Daí extraímos as componentes:
x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad z(t)=-t.

Passo 4

Calcular a velocidade \|\mathbf{r}'(t)\| para obter d s:
  • Derivando componente a componente,
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(1,1,-1).
  • Norma dessa derivada:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}.
  • Portanto d s=\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt=\sqrt{3}\,dt.

Passo 5

Substituir a parametrização na função integranda:
  • A função original é f(x,y,z)=x e^{x z}.
  • Avaliando na parametrização:
x(t)=t,\qquad z(t)=-t \quad\Rightarrow\quad x(t)z(t)=t\cdot(-t)=-t^{2}.
  • Assim
f(x(t),y(t),z(t))=t\,e^{-t^{2}}.
  • Juntando com d s=\sqrt{3}\,dt, a integral fica
\int_{C} x e^{x z}\, d s = \int_{0}^{1} \bigl(t e^{-t^{2}}\bigr)\,\sqrt{3}\,dt = \sqrt{3}\int_{0}^{1} t e^{-t^{2}}\,dt.

Passo 6

Resolver a integral unidimensional \int_{0}^{1} t e^{-t^{2}}\,dt com substituição:
  • Vamos usar a substituição clássica para integrais do tipo t e^{-t^{2}}: tome u=t^{2}. Então
du = 2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{1}{2}\,du.
  • Quando t=0 temos u=0. Quando t=1 temos u=1.
  • A integral transforma-se em
\int_{0}^{1} t e^{-t^{2}}\,dt = \int_{u=0}^{1} e^{-u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du.
  • Calcule a integral exponencial:
\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = -e^{-1}-(-e^{0}) = 1-e^{-1}.
  • Logo
\int_{0}^{1} t e^{-t^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr).

Passo 7

Reunir tudo e escrever o resultado final:
  • Lembre que havia o fator \sqrt{3} fora da integral, então
\int_{C} x e^{x z}\, d s = \sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr) = \frac{\sqrt{3}}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr).
  • Pronto — terminamos! Isso é um número positivo menor que \tfrac{\sqrt{3}}{2}, pois 1-e^{-1}<1. Força aí, você conseguiu acompanhar a substituição padrão e a parametrização do segmento.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr)

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