Calcule
, onde C é o segmento de reta que vai de
até
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que vai de
até
. Informações dadas e o que é pedido:
- Pontos finais do segmento:
e . - A integral é com diferencial
, ou seja, é uma integral de uma função escalar em relação ao comprimento de arco ao longo de . - Precisamos calcular numericamente o valor dessa integral ao longo do segmento indicado.
Passo 2
Explicação do que significa integrar uma função escalar ao longo de uma curva com
e como procedemos:
- Se temos uma curva parametrizada por
, , a integral de uma função escalar com respeito ao comprimento de arco é
- Aqui
é a velocidade, que transforma em . - Então nossa tarefa: parametrizar o segmento
, avaliar na parametrização, calcular e integrar.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta de
até
:
- A parametrização linear padrão é
com
.
- Calculando
, logo
- Daí extraímos as componentes:
Passo 4
Calcular a velocidade
para obter
:
- Derivando componente a componente,
- Norma dessa derivada:
- Portanto
.
Passo 5
Substituir a parametrização na função integranda:
- A função original é
. - Avaliando na parametrização:
- Assim
- Juntando com
, a integral fica
Passo 6
Resolver a integral unidimensional
com substituição:
- Vamos usar a substituição clássica para integrais do tipo
: tome . Então
- Quando
temos . Quando temos . - A integral transforma-se em
- Calcule a integral exponencial:
- Logo
Passo 7
Reunir tudo e escrever o resultado final:
- Lembre que havia o fator
fora da integral, então
- Pronto — terminamos! Isso é um número positivo menor que
, pois . Força aí, você conseguiu acompanhar a substituição padrão e a parametrização do segmento.