Questão 3: (2.5 pontos)
Determine os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y)= x^{3}-12 x y+8 y^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{3}-12xy+8y^{3} e pede para determinar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela.
Informações relevantes fornecidas:
\;\; — A função explícita é f(x,y)=x^{3}-12xy+8y^{3}.
\;\; — Precisamos encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e então classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Não vou resolver nada neste passo; só organizei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Entendendo o que é preciso fazer (aulas rápidas e úteis): o primeiro passo prático é calcular o gradiente de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais e indica onde a função não muda até primeira ordem. Em símbolos:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Pontos críticos são aqueles onde \nabla f(x,y)=\mathbf{0}. Vou calcular as derivadas parciais da função dada. Calculemos cada uma cuidadosamente:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-12y,
\frac{\partial f}{\partial y}=-12x+24y^{2}.
Expliquei: aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f ao variar x mantendo y fixo, e \frac{\partial f}{\partial y} é a taxa de variação em relação a y.

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} 3x^{2}-12y=0,\\[4pt] -12x+24y^{2}=0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos y:
3x^{2}-12y=0 \implies 12y=3x^{2}\implies y=\frac{x^{2}}{4}.
Substituímos essa expressão na segunda equação:
-12x+24\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{2}=0.
Calculemos passo a passo o termo ao quadrado e o coeficiente:
\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{2}=\frac{x^{4}}{16},
24\cdot\frac{x^{4}}{16}=\frac{24}{16}x^{4}=\frac{3}{2}x^{4}.
Portanto a segunda equação fica
-12x+\frac{3}{2}x^{4}=0.
Multiplicando por 2 para eliminar frações:
-24x+3x^{4}=0 \implies 3x^{4}-24x=0.
Fatorando:
3x(x^{3}-8)=0 \implies 3x(x-2)(x^{2}+2x+4)=0.
A equação x^{2}+2x+4=0 tem discriminante 4-16=-12<0 e não dá raízes reais. Logo as soluções reais são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Usando y=\frac{x^{2}}{4} obtemos os y correspondentes:
\text{se }x=0\Rightarrow y=\frac{0^{2}}{4}=0,
\text{se }x=2\Rightarrow y=\frac{2^{2}}{4}=1.
Portanto os pontos críticos reais são (0,0) e (2,1).]

Passo 4

Para classificar cada ponto crítico usamos o teste da Hessiana (teste das derivadas segundas). Vou explicar o que é: calcula-se a matriz Hessiana composta das segundas derivadas parciais:
H(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\end{pmatrix}.
O determinante da Hessiana em um ponto (x_{0},y_{0}) é
D(x_{0},y_{0})=\left.\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right)^{2}\right)\right|_{(x_{0},y_{0})}.
Regras do teste (resumo prático):
\;\; — Se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0 então há mínimo local.
\;\; — Se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}<0 então há máximo local.
\;\; — Se D<0 então é ponto de sela.
\;\; — Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas da nossa função:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x,
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=48y,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-12.
Logo o determinante da Hessiana é, de forma geral,
D(x,y)= (6x)(48y)-(-12)^{2}=288xy-144.

Passo 6

Avaliamo-lo em cada ponto crítico:
Para (0,0):
D(0,0)=288\cdot 0\cdot 0-144=-144<0.
Como D(0,0)<0, pelo teste da Hessiana (0,0) é um ponto de sela.
Para (2,1):
D(2,1)=288\cdot 2\cdot 1-144=576-144=432>0.
Aqui D(2,1)>0. Agora olhamos para \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(2,1)=6x em x=2:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(2,1)=6\cdot 2=12>0.
Como D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0, pelo teste a conclusão é que (2,1) é um mínimo local.

Passo 7

Calculemos os valores da função nesses pontos para registrar o valor do mínimo local e do ponto de sela:
f(0,0)=0^{3}-12\cdot 0\cdot 0+8\cdot 0^{3}=0,
f(2,1)=2^{3}-12\cdot 2\cdot 1+8\cdot 1^{3}=8-24+8=-8.
Portanto o ponto (2,1) é um mínimo local com valor -8, e (0,0) é um ponto de sela com valor 0.
Adicional (importante para provas): não existe máximo local neste problema porque não encontramos pontos críticos com D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}<0. Além disso, a função não tem máximo absoluto nem mínimo absoluto, pois ela é polinomial de grau 3 e é ilimitada: por exemplo, tomando y=0 temos f(x,0)=x^{3} que vai para +\infty quando x\to+\infty e para -\infty quando x\to-\infty. Isso mostra que não há extremos globais.

Resposta

Mínimo local: (2,1) com f(2,1)=-8.
Ponto de sela: (0,0) com f(0,0)=0.
Não há máximos locais.

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