Determine os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y)= x^{3}-12 x y+8 y^{3}.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x^{3}-12xy+8y^{3} e pede para determinar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela.
Informações relevantes fornecidas: \;\; — A função explícita é f(x,y)=x^{3}-12xy+8y^{3}. \;\; — Precisamos encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e então classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Não vou resolver nada neste passo; só organizei o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Entendendo o que é preciso fazer (aulas rápidas e úteis): o primeiro passo prático é calcular o gradiente de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais e indica onde a função não muda até primeira ordem. Em símbolos:
Pontos críticos são aqueles onde \nabla f(x,y)=\mathbf{0}. Vou calcular as derivadas parciais da função dada. Calculemos cada uma cuidadosamente:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-12y,
\frac{\partial f}{\partial y}=-12x+24y^{2}.
Expliquei: aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f ao variar x mantendo y fixo, e \frac{\partial f}{\partial y} é a taxa de variação em relação a y.
Passo 3
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
A equação x^{2}+2x+4=0 tem discriminante 4-16=-12<0 e não dá raízes reais. Logo as soluções reais são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Usando y=\frac{x^{2}}{4} obtemos os y correspondentes:
\text{se }x=0\Rightarrow y=\frac{0^{2}}{4}=0,
\text{se }x=2\Rightarrow y=\frac{2^{2}}{4}=1.
Portanto os pontos críticos reais são (0,0) e (2,1).]
Passo 4
Para classificar cada ponto crítico usamos o teste da Hessiana (teste das derivadas segundas). Vou explicar o que é: calcula-se a matriz Hessiana composta das segundas derivadas parciais:
Regras do teste (resumo prático): \;\; — Se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}>0 então há mínimo local. \;\; — Se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}<0 então há máximo local. \;\; — Se D<0 então é ponto de sela. \;\; — Se D=0 o teste é inconclusivo.]
Portanto o ponto (2,1) é um mínimo local com valor -8, e (0,0) é um ponto de sela com valor 0.
Adicional (importante para provas): não existe máximo local neste problema porque não encontramos pontos críticos com D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}<0. Além disso, a função não tem máximo absoluto nem mínimo absoluto, pois ela é polinomial de grau 3 e é ilimitada: por exemplo, tomando y=0 temos f(x,0)=x^{3} que vai para +\infty quando x\to+\infty e para -\infty quando x\to-\infty. Isso mostra que não há extremos globais.
Resposta
Mínimo local: (2,1) com f(2,1)=-8.
Ponto de sela: (0,0) com f(0,0)=0.
Não há máximos locais.