Questão 4. (2,5 pontos) Determine o potencial elétrico no centro de uma esfera maciça de raio R e densidade volumétrica de carga \rho em relação à superfície desta esfera.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico no centro de uma esfera maciça de raio R e densidade volumétrica de carga \rho, tomando como referência a superfície da esfera. O conteúdo envolvido é potencial eletrostático de uma distribuição contínua com simetria esférica. Para resolver, primeiro determinamos o campo elétrico interno via Lei de Gauss e depois integramos esse campo para obter a diferença de potencial.

Passo 2

Para r<R, aplicamos a Lei de Gauss numa superfície esférica de raio r. A carga envolvida é
Q_{\rm int} = \rho \,\frac{4}{3}\pi r^3.
O fluxo do campo é
\Phi = E(r)\,4\pi r^2
e, pela Lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\rho\,r}{3\,\varepsilon_0}.

Passo 3

O potencial relativo entre dois pontos a e b é dado por
V(a) - V(b) = -\int_{b}^{a} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}.
Tomando a=0 (centro) e b=R (superfície) e usando E(r) radial, temos
V(0)-V(R) = -\int_{R}^{0} E(r)\,dr = \int_{0}^{R} \frac{\rho\,r}{3\,\varepsilon_0}\,dr.

Passo 4

Fazendo a integral,
\int_{0}^{R} \frac{\rho\,r}{3\,\varepsilon_0}\,dr = \frac{\rho}{3\,\varepsilon_0}\,\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{R} = \frac{\rho\,R^2}{6\,\varepsilon_0}.
Logo, o potencial no centro em relação à superfície é
V(0)-V(R) = \frac{\rho\,R^2}{6\,\varepsilon_0}.

Resposta

V_{\rm centro\,(rel.\,à\,superfície)} = \frac{\rho\,R^2}{6\,\varepsilon_0}.àí

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