Considere uma barra de metal com 50 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de
, supondo que
e que suas extremidades são mantidas a temperatura de
respectivamente.
(a) Encontre a temperatura
(b) Faça os gráficos da distribuição inicial de temperatura, da distribuição final (estado estacionário) e de duas distribuições em dois instantes intermediários
(a) Encontre a temperatura
(b) Faça os gráficos da distribuição inicial de temperatura, da distribuição final (estado estacionário) e de duas distribuições em dois instantes intermediários
Passo 1
O enunciado trata da barra de metal de comprimento
cm e difusividade térmica
, com isoterma lateral (isolada) e contorno de Dirichlet em
e
tais que
e condição inicial
O objetivo é achar a solução
da equação do calor unidimensional
usando separação de variáveis mais deslocamento pela solução estacionária, e depois esboçar os gráficos de
, de
e de duas curvas intermediárias.
Passo 2
Procuramos primeiro a solução estacionária
que não depende de
. Então
Integrando em
vem
e das condições de contorno
Logo
Passo 3
Definimos a parte transitória
Então
satisfaz
e condição inicial
Chamemos
Passo 4
Expandimos
na série de senos em
:
com
Calcula-se (usando
)
Passo 5
A solução do problema original fica
ou seja, para
,
Passo 6
Descrever os gráficos em função de
:
– : reta horizontal em
.
– : reta decrescente de
até
.
– Em tempo intermediário pequeno, a curva parte de
e já se aproxima do segmento, com ligeira curvatura: começa em
, mas está abaixo desse valor e sobe suavemente.
– Em tempo maior , mais próxima da reta, quase indistinguível do estado estacionário, mas ainda um “acréscimo senoidal” muito pequeno.
–
–
– Em tempo intermediário
– Em tempo maior
Resposta
(a)
(b)
– Gráfico de : linha horizontal em
.
– Gráfico de : linha reta de
a
.
– Dois gráficos em tempos : curvas suavemente curvas que vão de perto de
até perto de
, aproximando-se progressivamente da reta estacionária.
– Gráfico de
– Gráfico de
– Dois gráficos em tempos