Considere uma barra de metal com 50 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20^{\circ} \mathrm{C}, supondo que \alpha=1 e que suas extremidades são mantidas a temperatura de 30^{\circ} \mathrm{Ce}-20^{\circ} \mathrm{C} respectivamente.
(a) Encontre a temperatura u(x, t)
(b) Faça os gráficos da distribuição inicial de temperatura, da distribuição final (estado estacionário) e de duas distribuições em dois instantes intermediários

Passo 1

O enunciado trata da barra de metal de comprimento L=50 cm e difusividade térmica \alpha=1, com isoterma lateral (isolada) e contorno de Dirichlet em x=0 e x=L tais que
u(0,t)=30,\quad u(L,t)=20,
e condição inicial
u(x,0)=20.
O objetivo é achar a solução u(x,t) da equação do calor unidimensional
u_t = \alpha\,u_{xx}
usando separação de variáveis mais deslocamento pela solução estacionária, e depois esboçar os gráficos de u(x,0), de u(x,t\to\infty) e de duas curvas intermediárias.

Passo 2

Procuramos primeiro a solução estacionária v(x) que não depende de t. Então
v''(x)=0,\quad v(0)=30,\;v(L)=20.
Integrando em x vem
v(x)=A\,x+B,
e das condições de contorno
v(0)=B=30,\qquad v(L)=A\,L+30=20\;\Longrightarrow\;A=\frac{20-30}{50}=-\frac1{5}.
Logo
v(x)=30-\frac{x}{5}.

Passo 3

Definimos a parte transitória
w(x,t)=u(x,t)-v(x).
Então w satisfaz
w_t = w_{xx},\quad w(0,t)=0,\;w(L,t)=0,
e condição inicial
w(x,0)=u(x,0)-v(x)=20-\Bigl(30-\frac{x}{5}\Bigr)=-10+\frac{x}{5}.
Chamemos
f(x)=-10+\frac{x}{5}.

Passo 4

Expandimos f(x) na série de senos em (0,L):
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
com
B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Calcula-se (usando L=50)
B_n=-\frac{20}{n\pi}.

Passo 5

A solução do problema original fica
u(x,t)=v(x)+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,e^{-\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^{2}t}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
ou seja, para L=50,
\boxed{ u(x,t) =30-\frac{x}{5} -\frac{20}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \exp\!\Bigl(-\frac{n^2\pi^2}{50^2}\,t\Bigr) \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{50}\Bigr). }

Passo 6

Descrever os gráficos em função de x\in[0,50]:
u(x,0)=20: reta horizontal em T=20.
u(x,\infty)=v(x)=30-\tfrac{x}{5}: reta decrescente de T(0)=30 até T(50)=20.
– Em tempo intermediário t_1 pequeno, a curva parte de 20 e já se aproxima do segmento, com ligeira curvatura: começa em (0,30), mas está abaixo desse valor e sobe suavemente.
– Em tempo maior t_2, mais próxima da reta, quase indistinguível do estado estacionário, mas ainda um “acréscimo senoidal” muito pequeno.

Resposta

(a)
u(x,t) =30-\frac{x}{5} -\frac{20}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \exp\!\Bigl(-\frac{n^2\pi^2}{2500}\,t\Bigr) \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{50}\Bigr).
(b)
– Gráfico de u(x,0): linha horizontal em T=20.
– Gráfico de u(x,\infty): linha reta de (0,30) a (50,20).
– Dois gráficos em tempos t_1<t_2: curvas suavemente curvas que vão de perto de (0,30) até perto de (50,20), aproximando-se progressivamente da reta estacionária.

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