Resolva a equação de onda
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
dadas as seguintes condições
\begin{array}{ll} u(0, t)=0, & u(\pi, t)=0 \\\ u(x, 0)=0, & \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\operatorname{sen} x \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de onda
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = a^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}
no intervalo 0<x<\pi com condições de contorno
u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=0,\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\sin x.
O conteúdo que usaremos envolve separação de variáveis e expansão em série de Fourier.

Passo 2

Suponha solução da forma u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na equação de onda e separando variáveis, obtemos
\frac{T''(t)}{a^{2}T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda.
Isso gera os dois ODEs
X''(x)+\lambda X(x)=0, \quad T''(t)+a^{2}\lambda\,T(t)=0.

Passo 3

Impondo as condições de contorno X(0)=0 e X(\pi)=0, obtemos os autovalores
\lambda_{n}=n^{2},\quad n=1,2,3,\dots
e os autofunções
X_{n}(x)=\sin(n x).
Para cada n, a parte temporal satisfaz
T_{n}(t)=A_{n}\cos(a n t)+C_{n}\sin(a n t).

Passo 4

A solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[A_{n}\cos(a n t)+C_{n}\sin(a n t)\bigr]\sin(n x).
Da condição inicial u(x,0)=0 segue A_{n}=0 para todo n.
Da condição \partial_{t}u(x,0)=\sin x vem
\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\,a n\,\sin(n x)=\sin x.
Pela ortogonalidade de \{\sin(n x)\}, só aparece n=1 e
C_{1}\,a\cdot1=1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=\frac{1}{a},
enquanto C_{n}=0 para n\neq1.

Passo 5

Logo a solução única é
u(x,t)=C_{1}\,\sin(a\cdot1\,t)\,\sin(1\cdot x) =\frac{1}{a}\,\sin(a t)\,\sin x.

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{a}\,\sin(a t)\,\sin x.

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