Resolva a equação de onda
dadas as seguintes condições
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de onda
no intervalo
com condições de contorno
e condições iniciais
O conteúdo que usaremos envolve separação de variáveis e expansão em série de Fourier.
Passo 2
Suponha solução da forma
. Substituindo na equação de onda e separando variáveis, obtemos
Isso gera os dois ODEs
Passo 3
Impondo as condições de contorno
e
, obtemos os autovalores
e os autofunções
Para cada
, a parte temporal satisfaz
Passo 4
A solução geral é
Da condição inicial
segue
para todo
.
Da condição vem
Da condição
Pela ortogonalidade de
, só aparece
e
enquanto
para
.
Passo 5
Logo a solução única é