Questão 2 [ 2 pontos] Determine a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}+4 y=8 \tan t, \quad-\pi / 2<t<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y''+4y=8\tan t,\qquad -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A equação é linear de segunda ordem, com coeficientes constantes no lado esquerdo e termo não homogêneo 8\tan t.
  • O domínio é \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), onde \tan t e \ln(\cos t) (quando aparecer) são bem definidos porque \cos t>0 nesse intervalo.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(t), ou seja, a combinação da solução geral da homogênea mais uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Começo resolvendo a equação homogênea associada:
y''+4y=0.
A equação característica é
r^2+4=0,
cuja solução é r=\pm 2i. Portanto uma base de soluções da homogênea é
y_1(t)=\cos(2t),\qquad y_2(t)=\sin(2t).
Qualquer solução da homogênea pode ser escrita como
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) para
y''+4y=8\tan t.
O método dos coeficientes indeterminados não é adequado porque 8\tan t não é uma combinação simples de polinômios, exponenciais ou senos/cossenos com frequência fixa. Vou usar variação de parâmetros, que é um método geral para obter uma solução particular a partir das soluções fundamentais y_1,y_2.
Fórmula de variação de parâmetros (forma usada aqui): se y_1,y_2 são soluções da homogênea e W é o wronskiano, então uma solução particular é
y_p=-y_1\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt + y_2\int \frac{y_1\,g}{W}\,dt,
onde g(t) é o termo não homogêneo do lado direito da equação na forma y''+p(t)y'+q(t)y=g(t). No nosso caso p(t)=0,q(t)=4 e
g(t)=8\tan t.
Explico rapidamente o que é cada coisa:
  • y_1,y_2 são as soluções fundamentais da homogênea que já tenho.
  • W=y_1y_2'-y_1'y_2 é o wronskiano; se W\neq0 então y_1,y_2 são linearmente independentes.
  • As integrais fornecem funções cujas combinações produzem uma solução particular.

Passo 4

Calculo o wronskiano W para y_1=\cos(2t) e y_2=\sin(2t):
y_1'=-2\sin(2t),\qquad y_2'=2\cos(2t).
W=y_1y_2'-y_1'y_2=\cos(2t)\cdot 2\cos(2t)-(-2\sin(2t))\cdot\sin(2t)=2\cos^2(2t)+2\sin^2(2t)=2.
Logo W=2 (constante), o que simplifica bastante as integrais.

Passo 5

Calculo a primeira integral necessária:
I_1=\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt=\int \frac{\sin(2t)\cdot 8\tan t}{2}\,dt=\int 4\sin(2t)\tan t\,dt.
Simplifico a integranda usando identidades trigonométricas:
\sin(2t)=2\sin t\cos t,\qquad \tan t=\frac{\sin t}{\cos t},
então
\sin(2t)\tan t=2\sin^2 t.
Portanto a integranda vira 4\cdot 2\sin^2 t=8\sin^2 t. Assim
I_1=\int 8\sin^2 t\,dt=8\int \sin^2 t\,dt.
Uso a identidade \sin^2 t=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2t)) ou a primitiva conhecida \int \sin^2 t\,dt=\tfrac{1}{2}(t-\sin t\cos t). Assim
I_1=8\cdot \frac{1}{2}\bigl(t-\sin t\cos t\bigr)=4\bigl(t-\sin t\cos t\bigr).
(Escolho a constante de integração zero porque qualquer constante será absorvida na solução homogênea.)

Passo 6

Calculo a segunda integral:
I_2=\int \frac{y_1\,g}{W}\,dt=\int \frac{\cos(2t)\cdot 8\tan t}{2}\,dt=\int 4\cos(2t)\tan t\,dt.
Faço uma simplificação algébrica da integranda. Uso a identidade \cos(2t)=2\cos^2 t-1. Então
\cos(2t)\tan t=(2\cos^2 t-1)\frac{\sin t}{\cos t}=2\cos t\sin t-\frac{\sin t}{\cos t}=\sin(2t)-\tan t.
Portanto a integranda é
4\bigl(\sin(2t)-\tan t\bigr)=4\sin(2t)-4\tan t.
Agora integro termo a termo:
\int 4\sin(2t)\,dt = 4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\bigr) = -2\cos(2t),
\int -4\tan t\,dt = -4\bigl(-\ln|\cos t|\bigr)=4\ln|\cos t|.
Assim, escolhendo constante zero,
I_2=-2\cos(2t)+4\ln|\cos t|.
Como estamos no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) temos \cos t>0, então \ln|\cos t|=\ln(\cos t); mantive valor absoluto por rigor, mas pode-se remover.

Passo 7

Agora monto a solução particular com a fórmula:
y_p=-y_1 I_1 + y_2 I_2.
Substituindo y_1,y_2,I_1,I_2:
y_p=-\cos(2t)\cdot 4\bigl(t-\sin t\cos t\bigr)+\sin(2t)\bigl(-2\cos(2t)+4\ln|\cos t|\bigr).
Faço a álgebra e simplifico: desenvolvendo o primeiro termo
-\cos(2t)\cdot 4(t-\sin t\cos t)=-4t\cos(2t)+4\cos(2t)\sin t\cos t.
Note que \cos(2t)\sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin(2t)\cos(2t), então esse pedaço é 4\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2t)\cos(2t)=2\sin(2t)\cos(2t). O segundo conjunto de termos contém -2\sin(2t)\cos(2t), que cancela exatamente esse termo. Logo resta apenas
y_p=-4t\cos(2t)+4\sin(2t)\ln|\cos t|.
Como \cos t>0 no intervalo dado, podemos escrever \ln|\cos t|=\ln(\cos t).

Passo 8

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-4t\cos(2t)+4\sin(2t)\ln(\cos t),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias reais. Esta expressão é válida em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).

Resposta

y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-4t\cos(2t)+4\sin(2t)\ln(\cos t)

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