Questão 2 [ 2 pontos] Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A equação é linear de segunda ordem, com coeficientes constantes no lado esquerdo e termo não homogêneo
. - O domínio é
, onde e (quando aparecer) são bem definidos porque nesse intervalo. - Objetivo: encontrar a solução geral
, ou seja, a combinação da solução geral da homogênea mais uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Começo resolvendo a equação homogênea associada:
A equação característica é
cuja solução é
. Portanto uma base de soluções da homogênea é
Qualquer solução da homogênea pode ser escrita como
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para
O método dos coeficientes indeterminados não é adequado porque
não é uma combinação simples de polinômios, exponenciais ou senos/cossenos com frequência fixa. Vou usar variação de parâmetros, que é um método geral para obter uma solução particular a partir das soluções fundamentais
.
Fórmula de variação de parâmetros (forma usada aqui): se
são soluções da homogênea e
é o wronskiano, então uma solução particular é
onde
é o termo não homogêneo do lado direito da equação na forma
. No nosso caso
e
Explico rapidamente o que é cada coisa:
-
são as soluções fundamentais da homogênea que já tenho. -
é o wronskiano; se então são linearmente independentes. - As integrais fornecem funções cujas combinações produzem uma solução particular.
Passo 4
Calculo o wronskiano
para
e
:
Logo
(constante), o que simplifica bastante as integrais.
Passo 5
Calculo a primeira integral necessária:
Simplifico a integranda usando identidades trigonométricas:
então
Portanto a integranda vira
. Assim
Uso a identidade
ou a primitiva conhecida
. Assim
(Escolho a constante de integração zero porque qualquer constante será absorvida na solução homogênea.)
Passo 6
Calculo a segunda integral:
Faço uma simplificação algébrica da integranda. Uso a identidade
. Então
Portanto a integranda é
Agora integro termo a termo:
Assim, escolhendo constante zero,
Como estamos no intervalo
temos
, então
; mantive valor absoluto por rigor, mas pode-se remover.
Passo 7
Agora monto a solução particular com a fórmula:
Substituindo
:
Faço a álgebra e simplifico: desenvolvendo o primeiro termo
Note que
, então esse pedaço é
. O segundo conjunto de termos contém
, que cancela exatamente esse termo. Logo resta apenas
Como
no intervalo dado, podemos escrever
.
Passo 8
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias reais. Esta expressão é válida em
.