Questāo 3. (3 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
(b) \vec{F}(x, y)=\left(e^{x^{4}}+y^{2}\right) \vec{i}+(x y+\operatorname{sen}(\ln y)) \vec{j}, onde C é o quadrilátero percorrido do (1,1) ao (1,2) ao (2,3) ao (2,1) ao $(1,1).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W = \oint_{C} \vec F\cdot d\vec r
do campo de força
\vec F(x,y) = \bigl(e^{x^4}+y^2\bigr)\,\vec i + \bigl(xy+\operatorname{sen}(\ln y)\bigr)\,\vec j
sobre o quadrilátero C com vértices (1,1)\to(1,2)\to(2,3)\to(2,1)\to(1,1).
O conteúdo é integral de linha em campo não conservativo e vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

Escrevendo
P(x,y)=e^{x^4}+y^2,\quad Q(x,y)=xy+\operatorname{sen}(\ln y),
temos
\frac{\partial Q}{\partial x}=y,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2y
e portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y-2y=-y.
Observando que a orientação dada (1,1)\to(1,2)\to(2,3)\to(2,1)\to(1,1) é horária, o Teorema de Green diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;- \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA \;=\;- \iint_{D}(-y)\,dA \;=\;\iint_{D}y\,dA.

Passo 3

O domínio D é o quadrilátero convexo com arestas em (1,1)\text{--}(2,1): y=1, (1,2)\text{--}(2,3): y=x+1,
e limites verticais x=1 a x=2.
Logo
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le2,\;1\le y\le x+1\}
e
W = \iint_{D}y\,dA = \int_{x=1}^{2}\Bigl[\int_{y=1}^{x+1}y\,dy\Bigr]dx.

Passo 4

Calculando a integral interna:
\int_{1}^{x+1}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{1}^{\,x+1} =\frac{(x+1)^2-1}{2} =\frac{x^2+2x}{2}.
Então
W = \int_{1}^{2}\frac{x^2+2x}{2}\,dx =\frac12\Bigl[\tfrac{x^3}{3}+x^2\Bigr]_{1}^{2} =\frac12\Bigl(\tfrac{8}{3}+4-\tfrac{1}{3}-1\Bigr) =\frac12\cdot\frac{16}{3} =\frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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