Calcule \iint_{D} \frac{\operatorname{sen}(y)}{y} d x d y, onde D é a região triangular comprendiada entre a reta y=x, a reta y=1 e o eixo O y.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
I = \iint_{D}\frac{\sin(y)}{y}\,dx\,dy,
onde D é o triângulo limitado por y=x, y=1 e o eixo Oy. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas, usando integração iterada.

Passo 2

Para descrever D, note que seus vértices são (0,0), (0,1) e (1,1). Assim, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 0 até y. Logo,
D = \{(x,y)\mid 0 \le y \le 1,\;0 \le x \le y\}.

Passo 3

Escrevemos a integral em ordem dx\,dy:
I = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{y}\frac{\sin(y)}{y}\,dx\,dy.

Passo 4

Como \tfrac{\sin(y)}{y} independe de x, a integral interna é
\int_{x=0}^{y}\frac{\sin(y)}{y}\,dx = \frac{\sin(y)}{y}\Bigl[x\Bigr]_{0}^{y} = \sin(y).
Portanto
I = \int_{0}^{1}\sin(y)\,dy.

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{1}\sin(y)\,dy = \bigl[-\cos(y)\bigr]_{0}^{1} = -\cos(1)+\cos(0) = 1 - \cos(1).

Resposta

1 - \cos(1)

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