Questão 4. (2.5 pontos) Determinte o volume do sólido W :
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 ; x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1 ; x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} \geq \frac{1}{3}\right\}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • O conjunto W é formado por pontos (x,y,z) que satisfazem três condições simultâneas:
    1. x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1. (esfera unitária centrada em (0,0,0))
    2. x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1. (esfera unitária centrada em (0,0,1))
    3. x^{2}+y^{2}+\left(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} \geq \dfrac{1}{3}. (complemento do interior da esfera centrada em \left(0,0,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) com raio \dfrac{1}{\sqrt{3}})
  • O pedido: determinar o volume do sólido W.
Observações úteis extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • As duas primeiras desigualdades definem a interseção (lente) de duas esferas de raio 1 cujos centros estão a distância 1 ao longo do eixo z.
  • A terceira desigualdade retira (exclui) os pontos que estão estritamente dentro da pequena esfera de centro em z=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e raio \dfrac{1}{\sqrt{3}}; pontos na superfície dessa pequena esfera são permitidos.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e montagem do volume por fatias horizontais.
  • Como todas as esferas têm centros sobre o eixo z e as condições são rotativamente simétricas em relação a esse eixo, é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), com x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,onde r\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e z\in\mathbb{R}.
  • O elemento de volume em cilíndricas é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Para um dado z, as duas primeiras desigualdades dão um limite superior em r; a terceira dá uma restrição inferior em r. Assim, para cada z a secção transversal em (x,y) é um disco ou um anel circular radialmente limitado por r_{\text{in}}(z)\le r\le r_{\text{out}}(z). O volume será V=\int_{z_{\min}}^{z_{\max}}\int_{0}^{2\pi}\int_{r_{\text{in}}(z)}^{r_{\text{out}}(z)} r\,dr\,d\theta\,dz =2\pi\int_{z_{\min}}^{z_{\max}}\bigg(\tfrac{1}{2}\big(r_{\text{out}}(z)^{2}-r_{\text{in}}(z)^{2}\big)\bigg)dz =\pi\int_{z_{\min}}^{z_{\max}}\big(r_{\text{out}}(z)^{2}-r_{\text{in}}(z)^{2}\big)\,dz.
Aqui r_{\text{out}}(z) é o raio máximo permitido pelos dois primeiros discos e r_{\text{in}}(z) vem da pequena esfera (quando positiva).

Passo 3

Determinar r_{\text{out}}(z): interseção das duas esferas grandes.
  • Para ponto com coordenadas (r,z) (ou seja x^2+y^2=r^2), a primeira esfera exige r^{2}+z^{2}\le 1 \quad\Rightarrow\quad r^{2}\le 1-z^{2}.A segunda esfera exige r^{2}+(z-1)^{2}\le 1 \quad\Rightarrow\quad r^{2}\le 1-(z-1)^{2}.
  • Para pertencer à interseção, r^{2} deve ser menor ou igual ao mínimo entre essas duas quantidades. Logo r_{\text{out}}(z)^{2}=\min\big(1-z^{2},\;1-(z-1)^{2}\big).
  • Para saber qual dos dois é menor, igualamos: 1-z^{2}=1-(z-1)^{2}\\ \Longrightarrow\\ z^{2}=(z-1)^{2}\\ \Longrightarrow\\ z=\tfrac{1}{2}.Portanto, na faixa z\in[0,1] (a lente verticalmente fica entre z=0 e z=1), temos o comportamento:
    • Para 0\le z\le \tfrac{1}{2}: r_{\text{out}}(z)^{2}=1-(z-1)^{2}=2z-z^{2}.
    • Para \tfrac{1}{2}\le z\le 1: r_{\text{out}}(z)^{2}=1-z^{2}.
(Nota: a lente só existe para z entre 0 e 1 porque é a interseção vertical das duas esferas unitárias.)

Passo 4

Determinar r_{\text{in}}(z): restrição dada pela pequena esfera.
  • A terceira condição é r^{2}+\Big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}\ge \dfrac{1}{3}.Rearranjando para r^{2}, r^{2}\ge \dfrac{1}{3}-\Big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}.
  • Assim definimos r_{\text{in}}(z)^{2}=\max\Big(0,\;\dfrac{1}{3}-\Big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}\Big).
  • A quantidade dentro do \max é não negativa exatamente quando \Big|z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big|\le \dfrac{1}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad z\in\Big[0,\;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Big].Como a lente tem z\in[0,1] e \dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}1547>1, concluímos que para todo z\in[0,1] temos r_{\text{in}}(z)^{2}=\dfrac{1}{3}-\big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\big)^{2} (com igualdade zero apenas em z=0).

Passo 5

Determinar o intervalo real de z em que a secção transversal é não vazia (ou seja r_{\text{in}}(z)<r_{\text{out}}(z)).
  • Para existir área, precisamos de
    r_{\text{out}}(z)^{2}-r_{\text{in}}(z)^{2}>0.
    Definindo
    f(z):=r_{\text{out}}(z)^{2}-\Big(\dfrac{1}{3}-\Big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}\Big) =r_{\text{out}}(z)^{2}+\Big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}-\dfrac{1}{3},
    devemos achar onde f(z)>0. Usamos as expressões de r_{\text{out}}^{2} por partes.
  • Para 0\le z\le \tfrac{1}{2}, r_{\text{out}}(z)^{2}=2z-z^{2}. Substituindo:
    f(z)=(2z-z^{2})+\big(z-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big)^{2}-\tfrac{1}{3}.
    Expandindo \big(z-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big)^{2}=z^{2}-2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}z+\dfrac{1}{3}, os termos -z^{2}+z^{2} e +\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3} cancelam, sobrando
    f(z)=2\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)z.
    Essa expressão é \ge 0 para z\ge 0 e estritamente positiva para z>0. Em z=0 temos f(0)=0.
  • Para \tfrac{1}{2}\le z\le 1, r_{\text{out}}(z)^{2}=1-z^{2}. Substituindo:
    f(z)=(1-z^{2})+\big(z-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big)^{2}-\tfrac{1}{3}.
    Novamente expandindo e simplificando os z^{2} e os termos constantes, obtém-se
    f(z)=1-2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,z.
    Essa expressão é positiva enquanto
    z<\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    Para z=\dfrac{\sqrt{3}}{2} ocorre f(z)=0. Como \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660<1, para z entre \dfrac{\sqrt{3}}{2} e 1 temos f(z)<0 (secção vazia).
  • Conclusão: as secções não vazias ocorrem para
    z\in\Big[0,\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big],
    onde para 0<z<\tfrac{1}{2} usamos a fórmula da primeira parte e para \tfrac{1}{2}\le z<\tfrac{\sqrt{3}}{2} usamos a da segunda parte. Em z=0 e z=\dfrac{\sqrt{3}}{2} a área é zero (limites).

Passo 6

Expressão do volume como integral e simplificação da integranda.
  • Para z\in[0,\tfrac{\sqrt{3}}{2}] a área transversal é
    A(z)=\pi\big(r_{\text{out}}(z)^{2}-r_{\text{in}}(z)^{2}\big)=\pi f(z).
  • Assim o volume é
    V=\pi\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(z)\,dz.
    Que calculamos por partes, dividindo no ponto z=\tfrac{1}{2}.
  • Para 0\le z\le \tfrac{1}{2}: f(z)=2\big(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\big)z. Então
    I_{1}:=\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(z)\,dz =\int_{0}^{\frac{1}{2}}2\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)z\,dz =\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)\bigg[z^{2}\bigg]_{0}^{\frac{1}{2}} =\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)\cdot\dfrac{1}{4}.
  • Para \tfrac{1}{2}\le z\le \tfrac{\sqrt{3}}{2}: f(z)=1-2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,z. Então
    I_{2}:=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\big(1-2\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}z\big)\,dz =\Big[z-\tfrac{1}{\sqrt{3}}z^{2}\Big]_{z=\frac{1}{2}}^{z=\frac{\sqrt{3}}{2}}.
    Avaliando nos limites:
    \Big(z-\tfrac{1}{\sqrt{3}}z^{2}\Big)\Big|_{z=\frac{\sqrt{3}}{2}} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{3}{4} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4\sqrt{3}},
\Big(z-\tfrac{1}{\sqrt{3}}z^{2}\Big)\Big|_{z=\frac{1}{2}} =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{4} =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4\sqrt{3}}.
Subtraindo,
I_{2}=\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4\sqrt{3}}\Big)-\Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4\sqrt{3}}\Big) =\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}.

Passo 7

Somar as duas partes e simplificar para obter o volume final.
  • Soma das integrais: I_{1}+I_{2}=\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)\dfrac{1}{4} +\Big(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Big).Colocando sobre denominador comum 4: I_{1}+I_{2}=\dfrac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{4}+\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{4}-\dfrac{2}{4\sqrt{3}} =\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}-2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{4}.Agrupando termos constantes e termos com \dfrac{1}{\sqrt{3}}: =\dfrac{(2\sqrt{3})-(1) -\dfrac{3}{\sqrt{3}}}{4}.Observando que \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, isso vira I_{1}+I_{2}=\dfrac{2\sqrt{3}-1-\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}.
  • Portanto o volume é V=\pi\big(I_{1}+I_{2}\big)=\pi\cdot\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi(\sqrt{3}-1)}{4}

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