Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
O conjunto W é formado por pontos (x,y,z) que satisfazem três condições simultâneas:
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1. (esfera unitária centrada em (0,0,0))
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1. (esfera unitária centrada em (0,0,1))
x^{2}+y^{2}+\left(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} \geq \dfrac{1}{3}. (complemento do interior da esfera centrada em \left(0,0,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) com raio \dfrac{1}{\sqrt{3}})
O pedido: determinar o volume do sólido W.
Observações úteis extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
As duas primeiras desigualdades definem a interseção (lente) de duas esferas de raio 1 cujos centros estão a distância 1 ao longo do eixo z.
A terceira desigualdade retira (exclui) os pontos que estão estritamente dentro da pequena esfera de centro em z=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e raio \dfrac{1}{\sqrt{3}}; pontos na superfície dessa pequena esfera são permitidos.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e montagem do volume por fatias horizontais.
Como todas as esferas têm centros sobre o eixo z e as condições são rotativamente simétricas em relação a esse eixo, é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), comx = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,onde r\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e z\in\mathbb{R}.
O elemento de volume em cilíndricas é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Para um dado z, as duas primeiras desigualdades dão um limite superior em r; a terceira dá uma restrição inferior em r. Assim, para cada z a secção transversal em (x,y) é um disco ou um anel circular radialmente limitado por r_{\text{in}}(z)\le r\le r_{\text{out}}(z). O volume seráV=\int_{z_{\min}}^{z_{\max}}\int_{0}^{2\pi}\int_{r_{\text{in}}(z)}^{r_{\text{out}}(z)} r\,dr\,d\theta\,dz =2\pi\int_{z_{\min}}^{z_{\max}}\bigg(\tfrac{1}{2}\big(r_{\text{out}}(z)^{2}-r_{\text{in}}(z)^{2}\big)\bigg)dz =\pi\int_{z_{\min}}^{z_{\max}}\big(r_{\text{out}}(z)^{2}-r_{\text{in}}(z)^{2}\big)\,dz.
Aqui r_{\text{out}}(z) é o raio máximo permitido pelos dois primeiros discos e r_{\text{in}}(z) vem da pequena esfera (quando positiva).
Passo 3
Determinar r_{\text{out}}(z): interseção das duas esferas grandes.
Para ponto com coordenadas (r,z) (ou seja x^2+y^2=r^2), a primeira esfera exiger^{2}+z^{2}\le 1 \quad\Rightarrow\quad r^{2}\le 1-z^{2}.A segunda esfera exiger^{2}+(z-1)^{2}\le 1 \quad\Rightarrow\quad r^{2}\le 1-(z-1)^{2}.
Para pertencer à interseção, r^{2} deve ser menor ou igual ao mínimo entre essas duas quantidades. Logor_{\text{out}}(z)^{2}=\min\big(1-z^{2},\;1-(z-1)^{2}\big).
Para saber qual dos dois é menor, igualamos:1-z^{2}=1-(z-1)^{2}\\ \Longrightarrow\\ z^{2}=(z-1)^{2}\\ \Longrightarrow\\ z=\tfrac{1}{2}.Portanto, na faixa z\in[0,1] (a lente verticalmente fica entre z=0 e z=1), temos o comportamento:
Para 0\le z\le \tfrac{1}{2}: r_{\text{out}}(z)^{2}=1-(z-1)^{2}=2z-z^{2}.
Para \tfrac{1}{2}\le z\le 1: r_{\text{out}}(z)^{2}=1-z^{2}.
(Nota: a lente só existe para z entre 0 e 1 porque é a interseção vertical das duas esferas unitárias.)
Passo 4
Determinar r_{\text{in}}(z): restrição dada pela pequena esfera.
A terceira condição ér^{2}+\Big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}\ge \dfrac{1}{3}.Rearranjando para r^{2},r^{2}\ge \dfrac{1}{3}-\Big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}.
Assim definimosr_{\text{in}}(z)^{2}=\max\Big(0,\;\dfrac{1}{3}-\Big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}\Big).
A quantidade dentro do \max é não negativa exatamente quando\Big|z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big|\le \dfrac{1}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad z\in\Big[0,\;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Big].Como a lente tem z\in[0,1] e \dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}1547>1, concluímos que para todo z\in[0,1] temos r_{\text{in}}(z)^{2}=\dfrac{1}{3}-\big(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\big)^{2} (com igualdade zero apenas em z=0).
Passo 5
Determinar o intervalo real de z em que a secção transversal é não vazia (ou seja r_{\text{in}}(z)<r_{\text{out}}(z)).
Expandindo \big(z-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big)^{2}=z^{2}-2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}z+\dfrac{1}{3}, os termos -z^{2}+z^{2} e +\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3} cancelam, sobrando
f(z)=2\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)z.
Essa expressão é \ge 0 para z\ge 0 e estritamente positiva para z>0. Em z=0 temos f(0)=0.
Para \tfrac{1}{2}\le z\le 1, r_{\text{out}}(z)^{2}=1-z^{2}. Substituindo:
Novamente expandindo e simplificando os z^{2} e os termos constantes, obtém-se
f(z)=1-2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,z.
Essa expressão é positiva enquanto
z<\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Para z=\dfrac{\sqrt{3}}{2} ocorre f(z)=0. Como \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660<1, para z entre \dfrac{\sqrt{3}}{2} e 1 temos f(z)<0 (secção vazia).
Conclusão: as secções não vazias ocorrem para
z\in\Big[0,\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big],
onde para 0<z<\tfrac{1}{2} usamos a fórmula da primeira parte e para \tfrac{1}{2}\le z<\tfrac{\sqrt{3}}{2} usamos a da segunda parte. Em z=0 e z=\dfrac{\sqrt{3}}{2} a área é zero (limites).
Passo 6
Expressão do volume como integral e simplificação da integranda.
Para z\in[0,\tfrac{\sqrt{3}}{2}] a área transversal é
Somar as duas partes e simplificar para obter o volume final.
Soma das integrais:I_{1}+I_{2}=\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)\dfrac{1}{4} +\Big(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Big).Colocando sobre denominador comum 4:I_{1}+I_{2}=\dfrac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{4}+\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{4}-\dfrac{2}{4\sqrt{3}} =\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}-2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{4}.Agrupando termos constantes e termos com \dfrac{1}{\sqrt{3}}:=\dfrac{(2\sqrt{3})-(1) -\dfrac{3}{\sqrt{3}}}{4}.Observando que \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, isso viraI_{1}+I_{2}=\dfrac{2\sqrt{3}-1-\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}.
Portanto o volume éV=\pi\big(I_{1}+I_{2}\big)=\pi\cdot\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}.