Questāo 3. (2.5 pontos) Sejam
o trecho da curva plana de
com
e orientado no sentido de crescimento de
e
campo vetorial. Calcule a integral de linha
usando o Teorema de Green.
Passo 1
O enunciado fornece:
- Curva
: o arco superior da circunferência com , orientado no sentido de crescimento de (ou seja, do ponto até ao longo do arco superior). - Campo vetorial
com
- Pedido: calcular a integral de linha
.
Informações relevantes a observar (dados do enunciado):
- O denominador
anula-se em , portanto é singular em . - O arco
vai de para . Se fecharmos a região pela corda na reta entre e , o ponto fica sobre essa corda (na fronteira da região superior).
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): fechar a curva
com o segmento
da reta
que liga
a
, formando uma curva fechada
que contorna o semidisco superior. Aplicaremos o Teorema de Green à curva fechada
, tomando cuidado com a singularidade que está sobre a fronteira (não no interior), o que permite aplicar Green sobre o interior do semidisco.
Lembrete do Teorema de Green (forma que vamos usar): para um campo
com derivadas parciais contínuas no interior da região
limitada por uma curva fechada
orientada positivamente (contraclockwise),
Definições de curvas e orientações (para relacionar integrais):
- Seja
o segmento na reta de até . - Tome
com orientação positiva (contraclockwise): primeiro de a , depois o arco da circunferência de de volta a (isto é, o arco no sentido contraclockwise vai de a ). - Nosso arco
está orientado no sentido contrário ao arco presente em : em o arco vai de para , enquanto vai de para .
Relação entre as integrais (observando sinais):
portanto
Pelo Teorema de Green,
, onde
é o semidisco superior unitário.
Passo 3
Calcular o rotacional (a função que entra no integrando duplo):
Primeiro calcule . Escreva
. Então
Primeiro calcule
Derivando em relação a
:
E a derivada de
em
é
. Logo
Agora calcule
com
:
Agora subtraia:
Os termos com
somam:
restando apenas
Portanto o integrando do teorema de Green é simplesmente
.
Passo 4
Calcular
, com
sendo o semidisco superior de raio
.
Observação simples pela simetria: a região
é simétrica em relação ao eixo
, e a função
é ímpar em
. Logo a integral dupla de
sobre
é zero:
(Alternativamente, em coordenadas polares
com
, a integral seria proportional a
.)
Portanto
.
Passo 5
Calcular
, onde
é o segmento
sobre
.
Parametrização natural:
. Então
,
,
. No eixo
temos
. O produto escalar é
Mesmo que
tenha termo singular em
(o termo
), ele é multiplicado por
na integral sobre
, de modo que a integral ao longo de
é nula:
Passo 6
Juntando os resultados da relação do Passo 2:
Como
e
, segue