Questāo 3. (2.5 pontos) Sejam C o trecho da curva plana de x^{2}+y^{2}=1 com y \geq 0 e orientado no sentido de crescimento de x e
F(x, y)=\left(\frac{-y}{9 x^{2}+4 y^{2}}, \frac{x}{9 x^{2}+4 y^{2}}+\frac{x^{2}}{2}\right)
campo vetorial. Calcule a integral de linha \int_{C} F \cdot d r usando o Teorema de Green.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Curva C: o arco superior da circunferência \;x^{2}+y^{2}=1\; com y\ge 0, orientado no sentido de crescimento de x (ou seja, do ponto (-1,0) até (1,0) ao longo do arco superior).
  • Campo vetorial F(x,y)=\big(P(x,y),\,Q(x,y)\big) com
P(x,y)=\frac{-y}{9x^{2}+4y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{9x^{2}+4y^{2}}+\frac{x^{2}}{2}.
  • Pedido: calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}F\cdot d r.
Informações relevantes a observar (dados do enunciado):
  • O denominador 9x^{2}+4y^{2} anula-se em (0,0), portanto F é singular em (0,0).
  • O arco C vai de (-1,0) para (1,0). Se fecharmos a região pela corda na reta y=0 entre (-1,0) e (1,0), o ponto (0,0) fica sobre essa corda (na fronteira da região superior).

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): fechar a curva C com o segmento S da reta y=0 que liga (-1,0) a (1,0), formando uma curva fechada \Gamma que contorna o semidisco superior. Aplicaremos o Teorema de Green à curva fechada \Gamma, tomando cuidado com a singularidade que está sobre a fronteira (não no interior), o que permite aplicar Green sobre o interior do semidisco.
Lembrete do Teorema de Green (forma que vamos usar): para um campo F=(P,Q) com derivadas parciais contínuas no interior da região R limitada por uma curva fechada \Gamma orientada positivamente (contraclockwise),
\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Definições de curvas e orientações (para relacionar integrais):
  • Seja S o segmento na reta y=0 de (-1,0) até (1,0).
  • Tome \Gamma com orientação positiva (contraclockwise): primeiro S de (-1,0) a (1,0), depois o arco da circunferência de (1,0) de volta a (-1,0) (isto é, o arco no sentido contraclockwise vai de (1,0) a (-1,0)).
  • Nosso arco C está orientado no sentido contrário ao arco presente em \Gamma: em \Gamma o arco vai de (1,0) para (-1,0), enquanto C vai de (-1,0) para (1,0).
Relação entre as integrais (observando sinais):
\oint_{\Gamma}F\cdot d r=\int_{S}F\cdot d r+\int_{\text{arco }(1\to -1)}F\cdot d r =\int_{S}F\cdot d r-\int_{C}F\cdot d r,
portanto
\int_{C}F\cdot d r=\int_{S}F\cdot d r-\oint_{\Gamma}F\cdot d r.
Pelo Teorema de Green, \displaystyle\oint_{\Gamma}F\cdot d r=\iint_{R}\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA, onde R é o semidisco superior unitário.

Passo 3

Calcular o rotacional (a função que entra no integrando duplo):
Primeiro calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Escreva D=9x^{2}+4y^{2}. Então
Q=\frac{x}{D}+\frac{x^{2}}{2}.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial }{\partial x}\!\left(\frac{x}{D}\right) =\frac{1\cdot D - x\cdot (18x)}{D^{2}} =\frac{D-18x^{2}}{D^{2}} =\frac{9x^{2}+4y^{2}-18x^{2}}{D^{2}} =\frac{-9x^{2}+4y^{2}}{D^{2}}.
E a derivada de \dfrac{x^{2}}{2} em x é x. Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{-9x^{2}+4y^{2}}{D^{2}}+x.
Agora calcule \dfrac{\partial P}{\partial y} com P=-\dfrac{y}{D}:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{y}{D}\right) =-\frac{1\cdot D - y\cdot(8y)}{D^{2}} =-\frac{D-8y^{2}}{D^{2}} =-\frac{9x^{2}+4y^{2}-8y^{2}}{D^{2}} =-\frac{9x^{2}-4y^{2}}{D^{2}}.
Agora subtraia:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\left(\frac{-9x^{2}+4y^{2}}{D^{2}}+x\right) -\left(-\frac{9x^{2}-4y^{2}}{D^{2}}\right).
Os termos com D^{2} somam:
\frac{-9x^{2}+4y^{2}}{D^{2}}+\frac{9x^{2}-4y^{2}}{D^{2}}=0,
restando apenas
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=x.
Portanto o integrando do teorema de Green é simplesmente x.

Passo 4

Calcular \displaystyle\oint_{\Gamma}F\cdot d r=\iint_{R} x\,dA, com R sendo o semidisco superior de raio 1.
Observação simples pela simetria: a região R é simétrica em relação ao eixo y, e a função x é ímpar em x. Logo a integral dupla de x sobre R é zero:
\iint_{R} x\,dA=0.
(Alternativamente, em coordenadas polares (r,\theta) com \theta\in[0,\pi], a integral seria proportional a \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=0.)
Portanto \displaystyle\oint_{\Gamma}F\cdot d r=0.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int_{S}F\cdot d r, onde S é o segmento (-1,0)\to(1,0) sobre y=0.
Parametrização natural: \;r(t)=(t,0),\;t\in[-1,1]. Então dr=(dt,0), dx=dt, dy=0. No eixo y=0 temos P(t,0)=\dfrac{-0}{9t^{2}+0}=0. O produto escalar é
F\cdot dr = P\,dx + Q\,dy = P(t,0)\,dt + Q(t,0)\cdot 0 = 0\cdot dt = 0.
Mesmo que Q tenha termo singular em x=0 (o termo 1/(9x)), ele é multiplicado por dy=0 na integral sobre S, de modo que a integral ao longo de S é nula:
\int_{S}F\cdot d r=\int_{-1}^{1}0\,dt=0.

Passo 6

Juntando os resultados da relação do Passo 2:
\int_{C}F\cdot d r=\int_{S}F\cdot d r-\oint_{\Gamma}F\cdot d r.
Como \int_{S}F\cdot d r=0 e \oint_{\Gamma}F\cdot d r=0, segue
\int_{C}F\cdot d r=0-0=0.

Resposta

\;0\;

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