Questão 1.a. (1.0 ponto) Troque a ordem de integraçāo da integral dupla:
b. (1.5 pontos) Usando mudança polar, determine o valor da integral para
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Trocar a ordem de integração da integral
- Calcular o valor de
para usando mudança para coordenadas polares.
Informações dadas que vamos usar (retiradas diretamente do enunciado):
- Para
: varia de até . - Para
: varia de até . - Observação útil (extraída da expressão
): a curva satisfaz
ou seja, é a circunferência de centro
e raio
.
- A expressão
corresponde à semicircunferência esquerda da circunferência (centro na origem e raio ).
Passo 2
Vamos descrever geometricamente a região de integração
(a união das duas faixas em
) e obter os limites em ordem
(isto é, integrar primeiro em
e depois em
).
- Determinar o intervalo total de
.
- A curva
atinge (por exemplo em ), logo o menor presente é . - A curva
tem máximo (ocorre em ). Logo o maior presente é .
Portantovaria globalmente de até .
- Para cada
, achar o intervalo em . Dividimos em dois casos por causa do sinal de .
Caso A:
.
- A condição provinda do limite esquerdo
é equivalente a
o que ao quadrar (cuidando que tudo é não negativo) dá
- Para
a condição (a partir do segundo integrando para ) é sempre satisfeita quando . Portanto, para todo os válidos são exatamente
Caso B:
.
- Agora
, então pontos com não aparecem (o primeiro integrando só dá para ). Logo para devemos ter . - A restrição superior vem da desigualdade
. Quadrando (com e ):
Isto implica
- Como estamos no ramo
, e já estão em para , os limites em para são
- Portanto, trocando a ordem de integração,
fica escrito como soma de duas integrais em :
Passo 3
Agora vamos calcular
para
usando coordenadas polares. Vou explicar a mudança polar passo a passo.
- Em coordenadas polares usamos as transformações
com o elemento de área
-
A função
em polares fica simplesmente . Assim o integrando vira . (Explicação rápida: um vem de e outro do jacobiano .) -
Precisamos descrever a região
em termos de . Usamos as curvas já identificadas:
- A circunferência grande
é . - A circunferência pequena
em polares é (substituindo ):
(ignoramos a solução
que só dá o polo). Note que
só é positiva quando
, ou seja para
.
- Determinar intervalos em
:
- Para
temos e (região com e ). Nessa faixa o limite radial externo é a pequena circunferência (visto que, para ângulos com , a condição impõe esse teto). Logo para vale . - Para
temos (região com ); aí a condição é automaticamente satisfeita (pois o lado direito é enquanto ), e o limite radial é a circunferência maior . Portanto para vale . - Para
temos e (não pertence à região original porque, para , o integrando inicial só aceitava ). Logo não incluímos esses ângulos.
- Reescrevendo a integral em polares com esses intervalos:
Passo 4
Calcular as duas integrais obtidas.
- Integral em
: em geral
- Primeiro termo:
Calcule
. Use a identidade
e faça
,
:
Portanto o primeiro termo vale
- Segundo termo:
- Somando os dois termos: