Questão 1.a. (1.0 ponto) Troque a ordem de integraçāo da integral dupla:
I=\int_{-2}^{0}\left(\int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{0} f(x, y) d x\right) d y+\int_{0}^{2}\left(\int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) d x\right) d y
b. (1.5 pontos) Usando mudança polar, determine o valor da integral para f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Trocar a ordem de integração da integral
I=\int_{-2}^{0}\left(\int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{0} f(x, y)\, d x\right) d y+\int_{0}^{2}\left(\int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y)\, d x\right) d y.
  1. Calcular o valor de I para f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} usando mudança para coordenadas polares.
Informações dadas que vamos usar (retiradas diretamente do enunciado):
  • Para y\in[-2,0]: x varia de x=-\sqrt{4-y^{2}} até x=0.
  • Para y\in[0,2]: x varia de x=-\sqrt{4-y^{2}} até x=\sqrt{2y-y^{2}}.
  • Observação útil (extraída da expressão \sqrt{2y-y^{2}}): a curva x=\sqrt{2y-y^{2}} satisfaz
x^{2}=2y-y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}-2y=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(y-1)^{2}=1,
ou seja, é a circunferência de centro (0,1) e raio 1.
  • A expressão x=-\sqrt{4-y^{2}} corresponde à semicircunferência esquerda da circunferência x^{2}+y^{2}=4 (centro na origem e raio 2).

Passo 2

Vamos descrever geometricamente a região de integração D (a união das duas faixas em y) e obter os limites em ordem dx\,dy \to dy\,dx (isto é, integrar primeiro em y e depois em x).
  1. Determinar o intervalo total de x.
  • A curva x=-\sqrt{4-y^{2}} atinge x=-2 (por exemplo em y=0), logo o menor x presente é -2.
  • A curva x=\sqrt{2y-y^{2}} tem máximo x=1 (ocorre em y=1). Logo o maior x presente é 1.
    Portanto x varia globalmente de -2 até 1.
  1. Para cada x, achar o intervalo em y. Dividimos em dois casos por causa do sinal de x.
Caso A: x\in[-2,0].
  • A condição provinda do limite esquerdo x\ge -\sqrt{4-y^{2}} é equivalente a
-\sqrt{4-y^{2}}\le x \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{4-y^{2}}\ge -x\\ (\text{com }-x\ge0),
o que ao quadrar (cuidando que tudo é não negativo) dá
4-y^{2}\ge x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}\le 4-x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{4-x^{2}}\le y\le \sqrt{4-x^{2}}.
  • Para x\le0 a condição x\le\sqrt{2y-y^{2}} (a partir do segundo integrando para y\ge0) é sempre satisfeita quando \sqrt{2y-y^{2}}\ge0. Portanto, para todo x\in[-2,0] os y válidos são exatamente
y\in\left[-\sqrt{4-x^{2}},\\ \sqrt{4-x^{2}}\right].
Caso B: x\in[0,1].
  • Agora x\ge0, então pontos com y<0 não aparecem (o primeiro integrando só dá x\le0 para y<0). Logo para x\ge0 devemos ter y\ge0.
  • A restrição superior vem da desigualdade x\le\sqrt{2y-y^{2}}. Quadrando (com x\ge0 e \sqrt{\cdot}\ge0):
x^{2}\le 2y-y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}-2y+x^{2}\le0\quad\Longleftrightarrow\quad (y-1)^{2}\le 1-x^{2}.
Isto implica
1-\sqrt{1-x^{2}}\le y\le 1+\sqrt{1-x^{2}}.
  • Como estamos no ramo y\in[0,2], e 1\pm\sqrt{1-x^{2}} já estão em [0,2] para x\in[0,1], os limites em y para x\in[0,1] são
y\in\left[\,1-\sqrt{1-x^{2}},\\\ 1+\sqrt{1-x^{2}}\,\right].
  1. Portanto, trocando a ordem de integração, I fica escrito como soma de duas integrais em x:
I=\int_{x=-2}^{0}\left(\int_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x,y)\, dy\right) dx +\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y)\, dy\right) dx.

Passo 3

Agora vamos calcular I para f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} usando coordenadas polares. Vou explicar a mudança polar passo a passo.
  1. Em coordenadas polares usamos as transformações
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com o elemento de área
dA=dx\,dy=r\,dr\,d\theta.
  1. A função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em polares fica simplesmente f(r,\theta)=r. Assim o integrando f(x,y)\,dx\,dy vira r\cdot r\,dr\,d\theta=r^{2}\,dr\,d\theta. (Explicação rápida: um \,r vem de \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e outro \,r do jacobiano dA.)
  2. Precisamos descrever a região D em termos de (r,\theta). Usamos as curvas já identificadas:
  • A circunferência grande x^{2}+y^{2}=4 é r=2.
  • A circunferência pequena x^{2}+(y-1)^{2}=1 em polares é (substituindo y=r\sin\theta):
r^{2}-2r\sin\theta=0\quad\Longrightarrow\quad r=2\sin\theta
(ignoramos a solução r=0 que só dá o polo). Note que r=2\sin\theta só é positiva quando \sin\theta\ge0, ou seja para \theta\in[0,\pi].
  1. Determinar intervalos em \theta:
  • Para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] temos \sin\theta\ge0 e \cos\theta\ge0 (região com y\ge0 e x\ge0). Nessa faixa o limite radial externo é a pequena circunferência r=2\sin\theta (visto que, para ângulos com x\ge0, a condição x\le\sqrt{2y-y^{2}} impõe esse teto). Logo para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] vale 0\le r\le 2\sin\theta.
  • Para \theta\in[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}] temos \cos\theta\le0 (região com x\le0); aí a condição x\le\sqrt{2y-y^{2}} é automaticamente satisfeita (pois o lado direito é \ge0 enquanto x\le0), e o limite radial é a circunferência maior r=2. Portanto para \theta\in[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}] vale 0\le r\le 2.
  • Para \theta\in[\tfrac{3\pi}{2},2\pi) temos y<0 e x>0 (não pertence à região original porque, para y<0, o integrando inicial só aceitava x\le0). Logo não incluímos esses ângulos.
  1. Reescrevendo a integral em polares com esses intervalos:
I=\iint_{D} r\,dA=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\sin\theta} r^{2}\,dr\,d\theta +\int_{\theta=\pi/2}^{3\pi/2}\int_{r=0}^{2} r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular as duas integrais obtidas.
  1. Integral em r: em geral
\int_{0}^{a} r^{2}\,dr=\frac{a^{3}}{3}.
  1. Primeiro termo:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\sin\theta} r^{2}\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\frac{(2\sin\theta)^{3}}{3}\,d\theta =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta.
Calcule \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta. Use a identidade \sin^{3}\theta=(1-\cos^{2}\theta)\sin\theta e faça u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos^{2}\theta)\sin\theta\,d\theta =\int_{u=1}^{0}(1-u^{2})(-du) =\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du =\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto o primeiro termo vale
\frac{8}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{9}.
  1. Segundo termo:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\,d\theta =\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\frac{2^{3}}{3}\,d\theta =\frac{8}{3}\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{8}{3}\cdot\pi =\frac{8\pi}{3}.
  1. Somando os dois termos:
I=\frac{16}{9}+\frac{8\pi}{3}.

Resposta

I=\int_{x=-2}^{0}\left(\int_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x,y)\, dy\right) dx +\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y)\, dy\right) dx
I\big|_{f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{16}{9}+\frac{8\pi}{3}

Exercícios relacionados