e pede para verificar, pela definição, se é contínua em x=0. Para isso, precisamos calcular
\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x),
\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x),
e comparar com f(0)=0.
Passo 2
Calcular \displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{\sin(4x)}{e^x-e^{-x}}. Note que ao fazermos x\to0 tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, é indeterminação 0/0. Usamos a expansão em série de Taylor ou L’Hôpital:
— Expansão: \sin(4x)=4x+O(x^3) e e^x-e^{-x}=2x+O(x^3).
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