Questão 3 (2 pontos). Diga e explique pela definição matemática de continuidade se a função
f= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(4 x)}{e^{x}-e^{-x}} & , \text { se } x<0 \\\\ 0 & , \text { se } x=0 \\\\ 2+x^{2} & , \text { se } x>0\end{cases}
é contínua ou não em x=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin(4x)}{e^x-e^{-x}},&x<0,\\\\ 0,&x=0,\\\\ 2+x^2,&x>0, \end{cases}
e pede para verificar, pela definição, se é contínua em x=0. Para isso, precisamos calcular
  1. \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x),
  2. \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x),
    e comparar com f(0)=0.

Passo 2

Calcular \displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{\sin(4x)}{e^x-e^{-x}}. Note que ao fazermos x\to0 tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, é indeterminação 0/0. Usamos a expansão em série de Taylor ou L’Hôpital:
— Expansão: \sin(4x)=4x+O(x^3) e e^x-e^{-x}=2x+O(x^3).
Logo
\lim_{x\to0^-}\frac{\sin(4x)}{e^x-e^{-x}} =\lim_{x\to0}\frac{4x+O(x^3)}{2x+O(x^3)} =\frac{4}{2}=2.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to0^+}(2+x^2). Como x^2\to0 quando x\to0, temos
\lim_{x\to0^+}(2+x^2)=2.

Passo 4

Pela definição de continuidade em x=0, precisamos de
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^+}f(x) =f(0).
Aqui obtivemos os limites laterais iguais a 2, mas f(0)=0. Como 2\neq0, a condição falha.

Resposta

A função não é contínua em x=0.

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