Exercício 12. Existe a derivada da função
f(x)=|x|
no ponto x_{0}=0 ?
Resposta: Não! Os limites laterais que definem da derivada são distintos: indo pela esquerda a derivada seria -1 e pela direita seria 1 .

Passo 1

O enunciado pergunta se existe a derivada de f(x)=|x| no ponto x_{0}=0. Para responder, vamos usar a definição de derivada via limite do quociente incremental e verificar os dois lados (direita e esquerda).

Passo 2

A definição de derivada em x=0 é
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h},
que só existe se esse limite for igual vindo de h\to0^+ e de h\to0^-.

Passo 3

Para h\to0^+ (incrementos positivos) temos f(h)=|h|=h. Então
\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h-0}{h} =\lim_{h\to0^+}1 =1.

Passo 4

Para h\to0^- (incrementos negativos) temos f(h)=|h|=-\,h. Logo
\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h-0}{h} =\lim_{h\to0^-}(-1) =-1.

Passo 5

Como o limite pela direita vale 1 e pela esquerda vale -1, eles são diferentes. Portanto o limite total não existe e f não é diferenciável em 0.

Resposta

Não existe derivada de f(x)=|x| em x_{0}=0.

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