Questão 4 (2 pontos). Considere as funções g e h expressas, respectivamente, por g(x)=\frac{1+\cos (2 x)}{2} e h(x)=(x-\pi)^{2}+1 para todo x \in \mathbb{R}. Seja f uma função definida para todo x \in \mathbb{R} e que satisfaz g(x) \leq f(x) \leq h(x) para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que f é função contínua em x=\pi.

Passo 1

O enunciado dá as funções
g(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2},
h(x)=(x-\pi)^{2}+1,
e uma função f tal que, para todo x\in\mathbb{R},
g(x)\le f(x)\le h(x).
Queremos mostrar que f é contínua em x=\pi. Para isso vamos usar a definição de continuidade (é preciso provar que \lim_{x\to\pi}f(x)=f(\pi)) e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Primeiro, calculemos os valores de g e h em x=\pi:
g(\pi)=\frac{1+\cos(2\pi)}{2}=\frac{1+1}{2}=1,
h(\pi)=(\pi-\pi)^{2}+1=1.
Como g(\pi)\le f(\pi)\le h(\pi) temos
1\le f(\pi)\le 1 \qquad\Longrightarrow\qquad f(\pi)=1.

Passo 3

As funções g e h são contínuas em todo \mathbb{R} (uma é combinação de cosseno, a outra é polinomial), logo
\lim_{x\to\pi}g(x)=g(\pi)=1
e
\lim_{x\to\pi}h(x)=h(\pi)=1.

Passo 4

Como para todo x perto de \pi vale
g(x)\le f(x)\le h(x)
e ambos \lim_{x\to\pi}g(x) e \lim_{x\to\pi}h(x) são iguais a 1, pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{x\to\pi}f(x)=1.
Juntando isso com o valor f(\pi)=1, concluímos que
\lim_{x\to\pi}f(x)=f(\pi),
ou seja, f é contínua em x=\pi.

Resposta

f é contínua em x=\pi.

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