Questão 4 (2 pontos). Considere as funções
e
expressas, respectivamente, por
e
para todo
. Seja
uma função definida para todo
e que satisfaz
para todo
. Mostre que
é função contínua em
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e uma função
tal que, para todo
,
Queremos mostrar que
é contínua em
. Para isso vamos usar a definição de continuidade (é preciso provar que
) e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).
Passo 2
Primeiro, calculemos os valores de
e
em
:
Como
temos
Passo 3
As funções
e
são contínuas em todo
(uma é combinação de cosseno, a outra é polinomial), logo
e
Passo 4
Como para todo
perto de
vale
e ambos
e
são iguais a
, pelo Teorema do Confronto segue
Juntando isso com o valor
, concluímos que
ou seja,
é contínua em
.