Questão 1 ( 2,5 pontos): Duas cargas elétricas positivas e de mesma magnitude Q estão posicionadas sobre o eixo y, uma em y_{1}=-d e a outra em y_{2}=+d. Calcule: ( a ) O campo elétrico resultante \vec{E} sobre o eixo x; (b) Os valores de x em que |\vec{E}| é máximo.

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas pontuais positivas de mesma magnitude Q em (0,-d) e (0,+d) sobre o eixo y, e pede:
– (a) o campo resultante \vec{E} em um ponto genérico (x,0) no eixo x,
– (b) os valores de x onde o módulo |\vec{E}| é máximo.
Conteúdo necessário: Lei de Coulomb para campo de carga pontual e soma vetorial, depois otimização de função de x.

Passo 2

Lembrete: uma carga Q em (0,y_0) produz em (x,0)
\vec{E} \;=\; k\,Q\,\frac{\vec{r}}{r^3},
com \vec{r}=(x,\,-y_0) e r=\sqrt{x^2+y_0^2}, onde k=1/(4\pi\varepsilon_0).

Passo 3

Para a carga em (0,+d):
\vec{r}_1=(x,-d), r_1=\sqrt{x^2+d^2},
\vec{E}_1 \;=\; k\,Q\,\frac{(x,\,-d)}{(x^2+d^2)^{3/2}}.

Passo 4

Para a carga em (0,-d):
\vec{r}_2=(x,+d), r_2=\sqrt{x^2+d^2},
\vec{E}_2 \;=\; k\,Q\,\frac{(x,\,+d)}{(x^2+d^2)^{3/2}}.

Passo 5

Somando \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2, as componentes verticais se cancelam e a horizontal se soma, dando
\vec{E}(x,0) =\;k\,Q\frac{(x,-d)+(x,+d)}{(x^2+d^2)^{3/2}} =\;\frac{2kQ\,x}{(x^2+d^2)^{3/2}}\;\hat\imath.

Passo 6

O módulo do campo é
|\vec{E}| \;=\;\frac{2kQ\,|x|}{(x^2+d^2)^{3/2}}.
Por simetria, basta estudar x>0 em
f(x)=\frac{2kQ\,x}{(x^2+d^2)^{3/2}}.

Passo 7

Derivando e igualando a zero:
f'(x) =2kQ\;\frac{(x^2+d^2)-3x^2}{(x^2+d^2)^{5/2}} =2kQ\,\frac{d^2-2x^2}{(x^2+d^2)^{5/2}} \;\overset{!}{=}\;0 \;\Longrightarrow\;d^2-2x^2=0.

Passo 8

Da equação d^2-2x^2=0 vem
x^2=\frac{d^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{d}{\sqrt2}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}(x,0)=\frac{2kQ\,x}{(x^2+d^2)^{3/2}}\;\hat\imath.
(b) \displaystyle x=\pm\frac{d}{\sqrt2}.

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