Questão 3 ( 2,5 pontos): Uma carga elétrica puntiforme -Q está no centro de uma cavidade esférica condutora carregada com carga +3 Q. A esfera possui raio interno R_{1} e raio externo R_{2}. Use a Lei de Gauss para encontrar a distribuição de cargas na esfera.

Passo 1

Temos uma casca condutora esférica com carga líquida +3Q, raio interno R_{1} e externo R_{2}, e uma carga puntiforme -Q no centro da cavidade. Como em equilíbrio eletrostático o campo dentro do metal é zero, usaremos a Lei de Gauss para determinar as cargas induzidas nas superfícies interna e externa.

Passo 2

Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r tal que R_{1}<r<R_{2}. Nesse trecho do metal o campo é zero, logo a carga total envolvida por essa superfície deve ser nula:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 \quad\Longrightarrow\quad Q_{\text{enc}}=0.
A carga envolvida é a soma de -Q (carga do ponto) e da carga na face interna da casca, digamos Q_{\text{int}}. Assim
-Q + Q_{\text{int}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad Q_{\text{int}} = +Q.

Passo 3

Sabendo que a casca condutora tem carga total +3Q, a carga na superfície externa, Q_{\text{ext}}, deve satisfazer
Q_{\text{int}} + Q_{\text{ext}} = +3Q \quad\Longrightarrow\quad Q_{\text{ext}} = +3Q - (+Q) = +2Q.

Resposta

\text{Carga na superfície interna: }+Q. \text{Carga na superfície externa: }+2Q.íí

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