Questão 5 ( 2,0 pontos):
Duas ondas produzem variações de pressões resultantes em um determinado ponto A dadas por De e De. Sabendo que as ondas de pressão de amplitude A e A^prime estão em fase, encontre a distância de A que pode ser encontrado um ponto A^prime de variação de pressão nula para todo e qualquer instante de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício diz:
Temos duas ondas de pressão que, no ponto A (x=0), são
De
O conteúdo aqui é interferência de ondas e formação de ondas estacionárias. Vamos precisar:
  1. escrever cada onda num ponto genérico x, considerando que uma viaja para +x e a outra para –x;
  2. somar essas duas funções de tempo usando fórmula de soma de senos;
  3. identificar as posições (nós) onde a amplitude resultante é zero para todo tempo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as ondas em A′, que fica a uma distância x de A:
  • A onda 1 viaja no sentido +x, então ganha um termo De no argumento: De
  • A onda 2 viaja no sentido –x, então no argumento aparece :

Passo 3

Agora somamos
De
Usamos a identidade
U=omega t - kx - phi, V=omega t + kx + tfracpi2 .
Aqui
De
Então
Isso é uma onda estacionária:
  • A parte oscila no tempo,
  • A parte é o “perfil” espacial da amplitude.

Passo 4

Para ter variação de pressão nula em A′ para TODO e qualquer instante cosl(kx + tfracphi2 + tfracpi4r)=0 , a amplitude espacial tem que ser zero ali, isto é:
kx + tfracphi2 + tfracpi4 = l(2n+1r),tfracpi2, n=0,1,2,dots
Coseno zera quando
kx=l(2n+1r)tfracpi2 - tfracphi2 - tfracpi4 =tfrac(4n+1),pi4 - tfracphi2,
Como xn =1kl[tfrac(4n+1)pi4-tfracphi2r] =lambda2pil[tfrac(4n+1)pi4-tfracphi2r] =lambdal[4n+18-phi4pir] , isolamos :

Resposta

As posições de nó (variação de pressão sempre nula) são
xn ;=;lambdal[tfrac4n+18-tfracphi4pir], n=0,1,2,dots
Em particular, o primeiro nó (n=0) fica em
x0 = lambda8-phi4pi,lambda

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