Questão 5 ( 2,0 pontos):
Duas ondas produzem variações de pressões resultantes em um determinado ponto
dadas por
e
. Sabendo que as ondas de pressão de amplitude
e
estão em fase, encontre a distância de
que pode ser encontrado um ponto
de variação de pressão nula para todo e qualquer instante de tempo.
Duas ondas produzem variações de pressões resultantes em um determinado ponto
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício diz:
Temos duas ondas de pressão que, no ponto A (x=0), são
Temos duas ondas de pressão que, no ponto A (x=0), são
O conteúdo aqui é interferência de ondas e formação de ondas estacionárias. Vamos precisar:
- escrever cada onda num ponto genérico x, considerando que uma viaja para +x e a outra para –x;
- somar essas duas funções de tempo usando fórmula de soma de senos;
- identificar as posições (nós) onde a amplitude resultante é zero para todo tempo.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as ondas em A′, que fica a uma distância x de A:
- A onda 1 viaja no sentido +x, então ganha um termo
no argumento: - A onda 2 viaja no sentido –x, então no argumento aparece
:
Passo 3
Agora somamos
Usamos a identidade
.
Aqui
Aqui
Então
Isso é uma onda estacionária:
- A parte
oscila no tempo, - A parte
é o “perfil” espacial da amplitude.
Passo 4
Para ter variação de pressão nula em A′ para TODO e qualquer instante
, a amplitude espacial tem que ser zero ali, isto é:
Coseno zera quando
Como
, isolamos
:
Resposta
As posições de nó (variação de pressão sempre nula) são
Em particular, o primeiro nó (n=0) fica em