3^{\text {a }} Questão) Considere a tubulação (\mathrm{D}=0,8 \mathrm{~m}) liso de comprimento de 12 km que escoa água com \mathrm{v}=9 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine a perda de carga ao longo do tubo. (2 pontos).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Diâmetro interno do tubo: D=0,8\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo: L=12\\ \mathrm{km}=12{,}000\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média do escoamento: v=9\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedido: determinar a perda de carga ao longo do tubo (ou seja, a perda de carga por atrito total h_f ao longo de L).
Observação prática (dados que não foram fornecidos no enunciado e que vou assumir): o fluido é água em temperatura ambiente. Para água a 20^\circ\mathrm{C} tomo a viscosidade cinemática típica \nu=1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} e a aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Se a temperatura for muito diferente, o valor de \nu muda e então o resultado muda um pouco — mas esta é a suposição usual.

Passo 2

Qual fórmula usar? A perda de carga por atrito em escoamento em conduta, para escoamento uniforme, é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (em metros de coluna de fluido),
  • f é o fator de atrito adimensional (também chamado fator de Darcy),
  • L é o comprimento do tubo (m),
  • D é o diâmetro interno (m),
  • v é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
Explicando de forma simples: \dfrac{v^2}{2g} é a “carga cinética” (altura equivalente da velocidade), e a perda de carga é esse termo multiplicado pelo fator adimensional f(L/D) que mede o efeito do atrito ao longo do comprimento.
Para usar essa fórmula precisamos encontrar o fator de atrito f. Para isso precisamos do número de Reynolds e da rugosidade relativa do tubo. O enunciado diz “tubulação lisa”, logo a rugosidade absoluta pode ser considerada desprezível (hidraulicamente lisa): \epsilon\approx0. Para calcular f em tubos lisos e para grandes valores de Reynolds usarei a equação explícita de Haaland (boa prática para engenharia — é prática e bastante precisa):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\log_{10}\!\left[\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}\right)^{1{,}11}+\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}}\right].
Como o tubo é liso tomo \epsilon/D\approx0 e a fórmula reduz-se a
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\log_{10}\!\left(\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}}\right).
Justificativa curta da escolha: existem várias fórmulas (Blasius, Colebrook, etc.). Blasius é simples mas válida apenas até \mathrm{Re}\sim10^5. Nosso escoamento será muito mais turbulento (Re grande), então escolhi Haaland (explícita e válida num amplo intervalo) e a condição “liso” justifica \epsilon/D\approx0.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e verificar o regime do escoamento:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}.
Substituindo valores (usei \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}):
\mathrm{Re}=\frac{9\cdot 0{,}8}{1{,}0\times10^{-6}}=\frac{7{,}2}{1{,}0\times10^{-6}}=7{,}2\times10^{6}.
Como \mathrm{Re}\gg 4000, o escoamento é plenamente turbulento. Portanto faz sentido usar a fórmula de Haaland para f.

Passo 4

Calcular o fator de atrito f com a equação de Haaland para tubo liso ( \epsilon/D\approx0). Primeiro calcule o argumento do logaritmo:
\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}}=\frac{6{,}9}{7{,}2\times10^{6}}=9{,}5833\times10^{-7}.
Agora a equação:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\log_{10}\!\left(9{,}5833\times10^{-7}\right).
Calcule o logaritmo:
\log_{10}\!(9{,}5833\times10^{-7})\approx -6{,}0190.
Multiplicando:
\frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1{,}8\cdot(-6{,}0190)=10{,}8342.
Invertendo:
\sqrt{f} \approx \frac{1}{10{,}8342}=0{,}09230, \qquad f \approx (0{,}09230)^2 \approx 0{,}00852.
Portanto o fator de atrito é aproximadamente f\approx0{,}00852. (Comentário: este valor é típico de escoamento turbulento em tubos hidráulicamente lisos e Re muito grande.)

Passo 5

Agora aplicamos Darcy–Weisbach para obter a perda de carga:
Primeiro calcule a expressão dinâmica \dfrac{v^2}{2g}:
\frac{v^2}{2g}=\frac{9^2}{2\cdot 9{,}81}=\frac{81}{19{,}62}\approx 4{,}1298\\ \mathrm{m}.
Calcule a razão L/D:
\frac{L}{D}=\frac{12{,}000}{0{,}8}=15{,}000.
Agora:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} =0{,}00852\cdot 15{,}000\cdot 4{,}1298.
Multiplicando em etapas:
0{,}00852\cdot 15{,}000 \approx 127{,}77, \qquad 127{,}77\cdot 4{,}1298 \approx 527{,}9.
Portanto a perda de carga ao longo do tubo é da ordem de algumas centenas de metros de coluna de água (valor numérico calculado acima).

Passo 6

Interpretação e cheque rápido: a perda de carga obtida ( \sim5{,}28\times10^{2}\\ \mathrm{m}) indica uma queda de pressão significativa ao longo de 12\\ \mathrm{km} a 9\\ \mathrm{m/s}. Para efeito prático, a correspondente queda de pressão seria \Delta p=\rho g h_f; com \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3} isso seria da ordem de 5{,}18\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (ou \sim51{,}8\\ \mathrm{bar}), o que confirma que a perda é grande — típico quando se transporta muita vazão/velocidade por longas distâncias.
(força final: calma, deu trabalho, mas agora dá pra reproduzir isso na prova: calcular Re → escolher fórmula para f → Darcy–Weisbach → resultado.)

Resposta

527{,}9\ \mathrm{m}

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