Questāo 4 (3 PONTOS). Encontre a derivada das funções abaixo.
g(w)=\cos (\ln (w))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
g(w)=\cos\bigl(\ln(w)\bigr).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é dada por g(w)=\cos(\ln(w)).
  • Para que \ln(w) esteja definido, devemos considerar o domínio w>0.
  • A pergunta específica é: calcular g'(w), a derivada de g em relação a w.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta essencial que vamos usar: a regra da cadeia. Ela serve para derivar funções compostas, ou seja, funções da forma h(x)=f(g(x)). A forma geral da regra da cadeia é:
\text{se } h(x)=f(g(x)) \text{ então } h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).ã
Explicando de maneira simples: derivamos a função exterior f mantendo a função interior g(x) no lugar, e depois multiplicamos pela derivada da função interior g'(x). Isso é como “puxar para fora” a derivada da casca externa e depois multiplicar pela derivada do recheio interno.

Passo 3

Identificamos a composição em g(w)=\cos(\ln(w)):
  • Função interior: \;u(w)=\ln(w).
  • Função exterior: \;v(u)=\cos(u).
    Assim g(w)=v\bigl(u(w)\bigr). Vamos derivar primeiro a função exterior em relação a u e depois a interior em relação a w.

Passo 4

Derivada da função exterior v(u)=\cos(u) em relação a u:
v'(u) = -\sin(u).
Breve explicação: a derivada de \cos é -\sin. Aqui u é apenas a variável da função exterior.

Passo 5

Derivada da função interior u(w)=\ln(w) em relação a w:
u'(w)=\frac{1}{w}.
Breve explicação: a derivada do logaritmo natural \ln(w) é 1/w, válida para w>0.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores:
g'(w) = v'\bigl(u(w)\bigr)\cdot u'(w).
Substituindo v'(u)=-\sin(u) e u(w)=\ln(w) e u'(w)=\dfrac{1}{w}, obtemos
g'(w) = -\sin\bigl(\ln(w)\bigr)\cdot \frac{1}{w}.
Podemos escrever de forma mais limpa como uma fração.

Passo 7

Interpretação rápida e cheinha de ânimo: a derivada final mostra que a taxa de variação de g depende de \sin(\ln(w)) e é “escala-da” por 1/w. Por exemplo, em w=1 temos \ln(1)=0 e \sin(0)=0, então g'(1)=0 — faz sentido e é um cheque rápido que dá certo.

Resposta

g'(w)=-\frac{\sin\bigl(\ln(w)\bigr)}{w}

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