Questāo 4 (3 PONTOS). Encontre a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é dada por
. - Para que
esteja definido, devemos considerar o domínio . - A pergunta específica é: calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta essencial que vamos usar: a regra da cadeia. Ela serve para derivar funções compostas, ou seja, funções da forma
. A forma geral da regra da cadeia é:
Explicando de maneira simples: derivamos a função exterior
mantendo a função interior
no lugar, e depois multiplicamos pela derivada da função interior
. Isso é como “puxar para fora” a derivada da casca externa e depois multiplicar pela derivada do recheio interno.
Passo 3
Identificamos a composição em
:
- Função interior:
. - Função exterior:
.
Assim. Vamos derivar primeiro a função exterior em relação a e depois a interior em relação a .
Passo 4
Derivada da função exterior
em relação a
:
Breve explicação: a derivada de
é
. Aqui
é apenas a variável da função exterior.
Passo 5
Derivada da função interior
em relação a
:
Breve explicação: a derivada do logaritmo natural
é
, válida para
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores:
Substituindo
e
e
, obtemos
Podemos escrever de forma mais limpa como uma fração.
Passo 7
Interpretação rápida e cheinha de ânimo: a derivada final mostra que a taxa de variação de
depende de
e é “escala-da” por
. Por exemplo, em
temos
e
, então
— faz sentido e é um cheque rápido que dá certo.