Questāo 4 (3 PONTOS). Encontre a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a derivada da função”
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é a diferença de duas parcelas: uma exponencial
e uma linear . - Queremos a derivada de
, isto é , para quaisquer onde a função esteja definida (aqui está definida para todo ).
Passo 2
Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em termos matemáticos:
Isso significa que posso derivar
e
separadamente e depois subtrair os resultados.
Passo 3
Separe a função em duas partes:
Logo
Passo 4
Derivada da parcela linear
: use a regra do caso
(constante vezes
):
Aplicando aqui:
Exemplo rápido para fixar: a derivada de
é
.
Passo 5
Agora a parcela exponencial
. Aqui usamos a regra da cadeia: se temos uma função composta
, então
No caso
e
. Sabemos que
, ou seja, a derivada de
em relação a
é
novamente.
Passo 6
Calcule
com a regra do poder (power rule): para
,
porque a derivada de
é
e a constante
multiplica o resultado.
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
e
, obtemos
Como exemplo parecido: a derivada de
é
; aqui o fator extra
vem de
.
Passo 8
Junte as duas derivadas (passo 4 e passo 7) usando a regra da soma/diferença (passo 2):
Podemos escrever também como
. Note que a expressão está definida para todo
.