Questāo 4 (3 PONTOS). Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=e^{2 x^{3}}-5 x

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a derivada da função” \displaystyle f(x)=e^{2 x^{3}}-5 x.\n
Informações dadas:
  • A função é a diferença de duas parcelas: uma exponencial \displaystyle e^{2 x^{3}} e uma linear \displaystyle -5x.
  • Queremos a derivada de f, isto é \displaystyle f'(x), para quaisquer x onde a função esteja definida (aqui está definida para todo x).

Passo 2

Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em termos matemáticos:
\text{Se }F(x)=G(x)+H(x),\text{ então }F'(x)=G'(x)+H'(x).ã
Isso significa que posso derivar \displaystyle e^{2 x^{3}} e \displaystyle -5x separadamente e depois subtrair os resultados.

Passo 3

Separe a função em duas partes:
G(x)=e^{2 x^{3}}\quad\text{e}\quad H(x)=-5x.
Logo
f'(x)=G'(x)+H'(x)=\big(e^{2 x^{3}}\big)'\;+\;(-5x)'.

Passo 4

Derivada da parcela linear \displaystyle -5x: use a regra do caso \displaystyle a x (constante vezes x):
\text{Se }h(x)=a x\text{ com constante }a,\text{ então }h'(x)=a.ã
Aplicando aqui:
(-5x)'=-5.
Exemplo rápido para fixar: a derivada de \displaystyle 3x é \displaystyle 3.

Passo 5

Agora a parcela exponencial \displaystyle e^{2 x^{3}}. Aqui usamos a regra da cadeia: se temos uma função composta \displaystyle F(x)=\Phi(u(x)), então
F'(x)=\Phi'(u(x))\cdot u'(x).
No caso \displaystyle \Phi(t)=e^{t} e u(x)=2x^{3}. Sabemos que \Phi'(t)=e^{t}, ou seja, a derivada de e^{t} em relação a t é e^{t} novamente.

Passo 6

Calcule u'(x) com a regra do poder (power rule): para u(x)=2x^{3},
u'(x)=2\cdot(3x^{2})=6x^{2},
porque a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a constante 2 multiplica o resultado.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para G(x)=e^{u(x)}:
G'(x)=\big(e^{u(x)}\big)'=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=2x^{3} e u'(x)=6x^{2}, obtemos
\big(e^{2x^{3}}\big)'=6x^{2}\,e^{2x^{3}}.
Como exemplo parecido: a derivada de \displaystyle e^{2x} é \displaystyle 2e^{2x}; aqui o fator extra \displaystyle 6x^{2} vem de u'(x).

Passo 8

Junte as duas derivadas (passo 4 e passo 7) usando a regra da soma/diferença (passo 2):
f'(x)=6x^{2}\,e^{2x^{3}}-5.
Podemos escrever também como \displaystyle f'(x)=6x^{2}e^{2x^{3}}-5. Note que a expressão está definida para todo x.

Resposta

f'(x)=6x^{2}e^{2x^{3}}-5

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