Questão 1 (2 PONTOS). Considere a função h definida como h(x)=\left(5 x^{2}+1\right)^{3}. Expresse essa função na forma f \circ g.

Passo 1

O enunciado dá a função h definida por \;h(x)=\left(5 x^{2}+1\right)^{3}\; e pede que expressemos essa função na forma \;f\circ g\;.
Informações relevantes: a expressão de h(x) mostra uma soma 5x^{2}+1 que está elevada ao cubo. A tarefa é encontrar duas funções f e g tais que (f\circ g)(x)=f(g(x))=h(x).

Passo 2

Lembra do que é composição de funções? Se temos duas funções f e g, a composição (f\circ g) é a função que primeiro aplica g em x e depois aplica f no resultado. Ou seja:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Aqui precisamos escolher g(x) (a parte “interna”) e f (a parte “externa”) de modo que, ao substituir g(x) em f, obtivemos h(x).

Passo 3

Olhe para a forma de h(x): \left(5 x^{2}+1\right)^{3}. É natural identificar a “parte que está dentro” do expoente e a “operação externa”. A parte interna é \;5x^{2}+1\; e a operação externa é elevar ao cubo. Então a ideia é:
  • escolher g(x) para representar a parte interna \;5x^{2}+1\;;
  • escolher f para representar a operação “elevar ao cubo”.

Passo 4

Definimos então as funções explicitamente. Para evitar confundir a variável da função externa, uso uma letra diferente (por exemplo u) ao definir f:
g(x)=5x^{2}+1,
f(u)=u^{3}.
Agora verificamos a composição:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=(g(x))^{3}=(5x^{2}+1)^{3},
que é exatamente h(x). Portanto essas escolhas funcionam.

Passo 5

Observação útil para a prova: muitas vezes na composição você pode usar qualquer letra para a variável interna de f (aqui usei u), porque o importante é a regra da função. Essa decomposição é a mais direta e costuma ser a esperada em questões desse tipo. Há decomposições alternativas (por exemplo, escolher g(x)=5x^2 e ajustar f), mas a escolhida é a mais simples e clara.

Resposta

f(u)=u^{3},\quad g(x)=5x^{2}+1

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