Questão 1: (2.5 pontos)
Encontre uma expressão para a solução geral da equação diferencial:
y \frac{d y}{d x}=x^{3} e^{x^{2}-y^{2}} .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,\frac{dy}{dx}=x^{3}e^{x^{2}-y^{2}}
e pede a expressão da solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona y, dy/dx, x e uma combinação exponencial e^{x^{2}-y^{2}}.
  • Deve ser encontrada a solução geral y(x) (implícita ou explícita) contendo a constante de integração.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis x e y (ou seja, colocar todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro). A equação é
y\frac{dy}{dx}=x^{3}e^{x^{2}-y^{2}}.
Multiplico ambos os lados por e^{y^{2}} para eliminar o expoente negativo em y e obter fatores separáveis:
y e^{y^{2}}\frac{dy}{dx}=x^{3}e^{x^{2}}.
Agora escrevo numa forma separada (\text{termos em } y)\,dy = (\text{termos em } x)\,dx:
y e^{y^{2}}\,dy = x^{3} e^{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integro ambos os lados. Primeiro o lado em y:
\int y e^{y^{2}}\,dy.
Fazendo a substituição u=y^{2} (então du=2y\,dy ou y\,dy=\tfrac{1}{2}du), obtém-se
\int y e^{y^{2}}\,dy=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+\text{const}=\frac{1}{2}e^{y^{2}}+\text{const}.
Explicação curta: a derivada de y^{2} é 2y, por isso y e^{y^{2}} é bem ajustado para essa substituição.

Passo 4

Agora integro o lado em x:
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx.
Faço a mesma ideia com u=x^{2} (então du=2x\,dx). Reescrevo x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = u\cdot \tfrac{1}{2}du. Assim
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int u e^{u}\,du.
Para \int u e^{u}\,du uso integração por partes ou a fórmula conhecida \int u e^{u}\,du=(u-1)e^{u}+C. Logo
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\bigl(u-1\bigr)e^{u}+\text{const}=\frac{1}{2}e^{x^{2}}(x^{2}-1)+\text{const}.

Passo 5

Igualando as duas primitivas (lembrando de uma única constante de integração geral), temos
\frac{1}{2}e^{y^{2}}=\frac{1}{2}e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C,
onde C é a constante de integração geral. Multiplicando por 2 e reorganizando, uma forma implícita e simples da solução geral é
e^{y^{2}}=e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C.
Aqui C é uma constante arbitrária real (que define as diferentes soluções no conjunto das soluções gerais).

Passo 6

Se quiser a forma explícita y(x), tomo logaritmo natural e raiz quadrada (lembrando do sinal \pm e das restrições de domínio: o argumento do \ln deve ser positivo). Assim
y^{2}=\ln\!\bigl(e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C\bigr)
e
y(x)=\pm\sqrt{\ln\!\bigl(e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C\bigr)}.
Observações práticas para a prova: ao usar a forma explícita verifique sempre que e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C>0 no intervalo considerado; caso contrário a solução explícita não é real ali, mas a forma implícita e^{y^{2}}=e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C continua válida como relação entre x e y.

Resposta

e^{y^{2}}=e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C
\text{ou explicitamente}\quad y(x)=\pm\sqrt{\ln\!\bigl(e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C\bigr)}

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