Questão 1: (2.5 pontos)
Encontre uma expressão para a solução geral da equação diferencial:
Encontre uma expressão para a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a expressão da solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
, , e uma combinação exponencial . - Deve ser encontrada a solução geral
(implícita ou explícita) contendo a constante de integração.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
(ou seja, colocar todos os termos com
multiplicando
de um lado e todos os termos com
multiplicando
do outro). A equação é
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o expoente negativo em
e obter fatores separáveis:
Agora escrevo numa forma separada
:
Passo 3
Integro ambos os lados. Primeiro o lado em
:
Fazendo a substituição
(então
ou
), obtém-se
Explicação curta: a derivada de
é
, por isso
é bem ajustado para essa substituição.
Passo 4
Agora integro o lado em
:
Faço a mesma ideia com
(então
). Reescrevo
. Assim
Para
uso integração por partes ou a fórmula conhecida
. Logo
Passo 5
Igualando as duas primitivas (lembrando de uma única constante de integração geral), temos
onde
é a constante de integração geral. Multiplicando por
e reorganizando, uma forma implícita e simples da solução geral é
Aqui
é uma constante arbitrária real (que define as diferentes soluções no conjunto das soluções gerais).
Passo 6
Se quiser a forma explícita
, tomo logaritmo natural e raiz quadrada (lembrando do sinal
e das restrições de domínio: o argumento do
deve ser positivo). Assim
e
Observações práticas para a prova: ao usar a forma explícita verifique sempre que
no intervalo considerado; caso contrário a solução explícita não é real ali, mas a forma implícita
continua válida como relação entre
e
.