Questão 3 (2 pontos) Encontre a reta tangente à curva no ponto dado
3
y sen(2 x)=x cos (2 y), P(pi2, pi4)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva implícita y sin(2x) = x cos(2y) no ponto Pl(tfracpi2,tfracpi4r). Vamos usar derivação implícita para achar y'=tfracdydx e depois montar a equação da reta no formato ponto-declive.

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os lados de
y sin(2x) = x cos(2y)
pelo produto e regra da cadeia. No lado esquerdo:
ddx[y sin(2x)] = y' sin(2x) + y cdot 2cos(2x)
No lado direito:
ddx[x cos(2y)] = 1cdot cos(2y) + xl(-sin(2y)r)cdot 2y' = cos(2y) - 2x,y',sin(2y)
Igualando e isolando y':
y' sin(2x) + 2y cos(2x) = cos(2y) - 2x,y',sin(2y)
y'l(sin(2x) + 2x sin(2y)r) = cos(2y) - 2y cos(2x)
y' = cos(2y) - 2y cos(2x)sin(2x) + 2x sin(2y)

Passo 3

Agora avaliamos em x = tfracpi2, y = tfracpi4. Calculamos
sin(2x)=sin(pi)=0,
cos(2x)=cos(pi)=-1,
sin(2y)=sin(tfracpi2)=1,
cos(2y)=cos(tfracpi2)=0.
Logo,
y' = 0 - 2cdottfracpi4cdot(-1)0 + 2cdottfracpi2cdot1 = tfracpi2pi = tfrac12

Passo 4

A equação da reta tangente com declive m=tfrac12 no ponto l(tfracpi2,tfracpi4r) é
y - tfracpi4 = tfrac12l(x - tfracpi2r)

Resposta

y - pi4 = 12l(x - pi2r)

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