f(x, y)=cll(xx^2+y^2, x y, x+y) & , se & (x, y) neq(0,0) (0,0,0) & , se & (x, y)=(0,0), é contínua em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= l(tfracxx^2+y^2,,xy,,x+yr),&se (x,y)neq(0,0), (0,0,0),&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial de duas variáveis: f é contínua em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=(0,0,0)
Para testar isso, vamos analisar os limites das três componentes separadamente.

Passo 2

A segunda componente de f é xy. Sabemos que, quando (x,y)to(0,0),
lim(x,y)to(0,0)xy=0!,
pois cada um de x e y tende a zero. Logo essa componente tende a 0, que coincide com a correspondente em f(0,0).

Passo 3

A terceira componente de f é x+y. Claramente,
lim(x,y)to(0,0)(x+y)=0+0=0,
também igual à terceira coordenada de f(0,0).

Passo 4

A primeira componente de f é
xx^2+y^2
Para que f fosse contínua, precisaríamos ter
lim(x,y)to(0,0)xx^2+y^2=0
Mas esse limite não existe (nem é zero). Por exemplo, ao aproximar por y=0 e xto0 temos
xx^2+0^2=1xtopminfty,
dependendo do sinal de x. Portanto a primeira componente não converge a 0.

Resposta

Não, f não é contínua em (0,0).

Exercícios relacionados