O trabalho consiste em apresentar a solução das seguintes equações diferenciais ordinárias separáveis.
y^prime=y^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária separável y' = y^2 x. O conteúdo aqui é separação de variáveis, e vamos precisar escrever y' como dydx, separar os termos em y de um lado e x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Primeiro reescrevemos y' como derivada de y em relação a x:
dydx = y^2 x
Agora separamos as variáveis: colocamos todos os termos com y em um lado e os termos com x no outro:
1y^2,dy = x,dx

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados. À esquerda integramos y^-2 em relação a y e à direita integramos x em relação a x:
integral y^-2,dy = integral x,dx
Isso dá:
-1y = x^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, isolamos y. Multiplicamos ambos os lados por -1 e depois invertendo obtemos:
-1y = x^22 + C implies 1y = -x^22 - C implies y = 1-x^22 - C = -1x^22 + C = -2x^2 + 2C
Podemos renomear a constante 2C como outra constante arbitrária, digamos C1.

Passo 5

Assim chegamos à solução geral em forma mais simples:
y(x) = 2C1 - x^2,
onde C1 é uma constante arbitrária de integração.

Resposta

y(x) = dfrac2C - x^2, onde C é a constante de integração.

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