Encontre os valores de a e b que tornam a função contínua no ponto determinado.
f(x)=\left{\begin{array}{l}x+2 a \text { se } x<-2 \\3 a x+b \text { se }-2 \leq x \leq 1 \\3 x-2 b \text { se } x>1\end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. A função por partes é
As perguntas implícitas são: determinar os valores de a e b que fazem f contínua nos pontos onde as peças se encontram, isto é, em x=-2 e em x=1. Informações relevantes dadas:
expressão para x<-2: x+2a;
expressão para -2\le x\le1: 3ax+b;
expressão para x>1: 3x-2b.]
Passo 2
Relembrando, o que significa tornar a função contínua em um ponto x_0? Significa que o limite à esquerda em x_0, o limite à direita em x_0 e o valor da função em x_0 existem e são todos iguais. Em fórmula:
Para pontos de fronteira de peças (como -2 e 1 aqui), aplicamos isso calculando a expressão da peça à esquerda avaliada no ponto, a expressão da peça à direita avaliada no ponto (ou o valor da peça do meio quando o ponto pertence a ela) e igualando tudo.
Passo 3
Condição de continuidade em x=-2.
Limite pela esquerda (usar a expressão válida para x<-2) avaliada em -2:
\lim_{x\to -2^-} f(x) = (-2)+2a = -2+2a.
Valor da função em -2 (a peça do meio vale em -2):
f(-2)=3a(-2)+b = -6a + b.
Igualando limite esquerdo e valor em -2 obtemos a equação
-2+2a = -6a + b.
Agora isolamos b:
b = -2+2a +6a = 8a -2.
Passo 4
Condição de continuidade em x=1.
Valor da função em 1 (peça do meio inclui x=1):
f(1)=3a(1)+b = 3a + b.
Limite pela direita (usar a expressão para x>1) avaliado em 1:
\lim_{x\to 1^+} f(x) = 3\cdot 1 - 2b = 3 - 2b.
Igualando esses dois:
3a + b = 3 - 2b.
Rearranjando,
3a + 3b = 3.
Dividindo por 3,
a + b = 1,
ou seja
b = 1 - a.
Passo 5
Resolver o sistema obtido nas Passos 3 e 4. Temos duas expressões para b: