Encontre os valores de a e b que tornam a função contínua no ponto determinado.
f(x)=\left{ \begin{array}{l}x+2 a \text { se } x<-2 \\3 a x+b \text { se }-2 \leq x \leq 1 \\3 x-2 b \text { se } x>1\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. A função por partes é
f(x)=\begin{cases} x+2a & \text{se } x<-2,\\[4pt] 3ax+b & \text{se } -2\le x\le 1,\\[4pt] 3x-2b & \text{se } x>1. \end{cases}
As perguntas implícitas são: determinar os valores de a e b que fazem f contínua nos pontos onde as peças se encontram, isto é, em x=-2 e em x=1. Informações relevantes dadas:
  • expressão para x<-2: x+2a;
  • expressão para -2\le x\le1: 3ax+b;
  • expressão para x>1: 3x-2b.]

Passo 2

Relembrando, o que significa tornar a função contínua em um ponto x_0? Significa que o limite à esquerda em x_0, o limite à direita em x_0 e o valor da função em x_0 existem e são todos iguais. Em fórmula:
\lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0).
Para pontos de fronteira de peças (como -2 e 1 aqui), aplicamos isso calculando a expressão da peça à esquerda avaliada no ponto, a expressão da peça à direita avaliada no ponto (ou o valor da peça do meio quando o ponto pertence a ela) e igualando tudo.

Passo 3

Condição de continuidade em x=-2.
  • Limite pela esquerda (usar a expressão válida para x<-2) avaliada em -2:
\lim_{x\to -2^-} f(x) = (-2)+2a = -2+2a.
  • Valor da função em -2 (a peça do meio vale em -2):
f(-2)=3a(-2)+b = -6a + b.
Igualando limite esquerdo e valor em -2 obtemos a equação
-2+2a = -6a + b.
Agora isolamos b:
b = -2+2a +6a = 8a -2.

Passo 4

Condição de continuidade em x=1.
  • Valor da função em 1 (peça do meio inclui x=1):
f(1)=3a(1)+b = 3a + b.
  • Limite pela direita (usar a expressão para x>1) avaliado em 1:
\lim_{x\to 1^+} f(x) = 3\cdot 1 - 2b = 3 - 2b.
Igualando esses dois:
3a + b = 3 - 2b.
Rearranjando,
3a + 3b = 3.
Dividindo por 3,
a + b = 1,
ou seja
b = 1 - a.

Passo 5

Resolver o sistema obtido nas Passos 3 e 4. Temos duas expressões para b:
b = 8a - 2 \quad\text{e}\quad b = 1 - a.
Igualando-as:
8a - 2 = 1 - a.
Somando a em ambos os lados:
9a - 2 = 1.
Somando 2 em ambos os lados:
9a = 3.
Dividindo por 9:
a = \frac{1}{3}.
Agora uso b = 1 - a:
b = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Verificação rápida (substituir em b=8a-2):
8\cdot\frac{1}{3}-2 = \frac{8}{3}-\frac{6}{3}=\frac{2}{3},
confere.

Resposta

a=\dfrac{1}{3} \
b=\dfrac{2}{3}

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